Câu 61* trang 166 SBT Toán 9 Tập 1: Cho nửa hình tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By...

Cho nửa hình tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D.

a)      Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.

b)      Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.

c)      Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết AB = 4cm.

a) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang

Gọi I là trung điểm của CD

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC

Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB

Vì OC và OD lần lượt là phân giác của \(\widehat {AOM}\) và \(\widehat {BOM}\) nên OC ⊥ OD ( tính chất hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {COD} = 90^\circ \)

Suy ra: \(IC = ID = IO = {1 \over 2}CD\) ( tính chất tam giác vuông)

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

CA = CM

BD = DM

Suy ra: AC + BD = CM + DM = CD

Chu vi hình thang ABDC bằng:

AB + BD + DC + CA = AB + 2CD

Vì đường kính AB của (O) không thay đổi nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất.

Ta có: CD ≥ AB nên CD nhỏ nhất khi và chỉ khi CD = AB

Khi đó CD // AB ⇔ OM ⊥ AB

Vậy khi M là giao điểm của đường thẳn vuông góc với AB tại O với nửa đường tròn (O) thì hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.

c) Chu vi hình thang ABDC bằng: AB + 2CD (chứng minh trên)

Suy ra: 14 = 4 + 2.CD ⇒ CD = 5 (cm)

Hay CM + DM = 5 ⇒ DM = 5 – CM       (1)

Tam giác COD vuông tại O có OM ⊥ CD

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OM_­² = CM.DM ⇔ 2² = CM.DM ⇔ 4 = CM.DM    (2)

Thay (1) và (2) ta có: CM.(5 – CM) = 4

⇔ 5CM – CM² – 4 = 0

⇔ 4CM – CM² + CM – 4 = 0

⇔ CM(4 – CM) + (CM – 4) = 0

⇔ CM(4 – CM) – (4 – CM) = 0

⇔ (CM – 1)(4 – CM) = 0

⇔ CM – 1 = 0 hoặc 4 – CM = 0

⇔CM = 1 hoặc CM = 4

Vì CM = CA (chứng minh trên) nên AC = 1 (cm) hoặc AC = 4 (cm)

Vậy điểm C cách điểm A 1cm hoặc 4cm thì hình thang ABDC có chu vi bằng 14.