Câu 62* trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax,...

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua một điểm M thuộc nửa hình tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng:

a)      MN ⊥ AB;

b)      MN = NH.

a) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Trong tam giác BND, ta có: AC // BD

Suy ra: ${{ND} \over {NA}} = {{BD} \over {AC}}$ (Hệ quả định lí Ta-lét)      (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = CM và BD = DM          (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ${{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}$

Trong tam giác ACD, ta có: ${{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}$

Suy ra: MN // AC ( Theo định lí đảo định lí Ta-lét)

Mà: AC ⊥ AB (vì Ax ⊥ AB)

Suy ra: MN ⊥ AB

b) Trong tam giác ACD, ta có: MN // AC

Suy ra: ${{MN} \over {AC}} = {{DN} \over {DA}}$ (Hệ quả định lí Ta-lét)     (3)

Trong tam giác ABC, ta có: MH // AC ( vì M, N, H thẳng hàng)

Suy ra: ${{HN} \over {AC}} = {{BN} \over {BC}}$ (Hệ quả định lí Ta-lét)       (4)

Trong tam giác BDN, ta có: AC // BD

Suy ra: ${{ND} \over {NA}} = {{BN} \over {NC}}$ (Hệ quả định lí Ta-lét)

$\Rightarrow {{ND} \over {DN + NA}} = {{BN} \over {BN + NC}} \Leftrightarrow {{ND} \over {DA}} = {{BN} \over {BC}}$           (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: ${{MN} \over {AC}} = {{HN} \over {AC}} \Rightarrow MN = HN$.