Chứng minh:
a) \({{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = x - y\)
với x > 0 và y > 0;
b) \({{\sqrt {{x^3}} - 1} \over {\sqrt x - 1}} = x + \sqrt x + 1\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
\({{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = {{\left( {\sqrt {{x^2}y} + \sqrt {x{y^2}} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }}\)
\( = {{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2} = x - y\)
(với x > 0 và y > 0)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b) Vì x > 0 nên \(\sqrt {{x^3}} = {\left( {\sqrt x } \right)^3}\)
Ta có:
\({{\sqrt {{x^3}} - 1} \over {\sqrt x - 1}} = {{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} - {1^3}} \over {\sqrt x - 1}} = {{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)} \over {\sqrt x - 1}}\)
\( = x + \sqrt x + 1$ với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.