Câu 64 trang 15 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh...

a) Chứng minh:

$x + 2\sqrt {2x - 4}  = {\left( {\sqrt 2  + \sqrt {x - 2} } \right)^2}$ với $x \ge 2$;

b) Rút gọn biểu thức:

$\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} }  + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} }$ với $x \ge 2$.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

$\eqalign{ & x + 2\sqrt {2x - 4} = x + 2\sqrt {2\left( {x - 2} \right)} \cr & = 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2 \cr}$

$= {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}  + {\left( {\sqrt {x - 2} } \right)^2}$

$= {\left( {\sqrt 2  + \sqrt {x - 2} } \right)^2}$ (với $x \ge 2$)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

$\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} }  + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} }$

$= \sqrt {2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}  + x - 2}  + \sqrt {2 - 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}  + x - 2}$

$= \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt {x - 2} } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - \sqrt x  - 2} \right)}^2}}$

$= \left| {\sqrt 2  + \sqrt {x - 2} } \right| + \left| {\sqrt 2  - \sqrt {x - 2} } \right|$

$= \sqrt 2  + \sqrt {x - 2}  + \left| {\sqrt 2  - \sqrt {x - 2} } \right|$

- Nếu $\sqrt 2  - \sqrt {x - 2}  \ge 0$ thì 

$\eqalign{ & \sqrt {x - 2} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \cr & \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \Leftrightarrow x \le 4 \cr}$

Với $2 \le x \le 4$ thì $\left| {\sqrt 2  - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt 2  - \sqrt {x - 2}$

Ta có: $\sqrt 2  + \sqrt {x - 2}  + \sqrt 2  - \sqrt {x - 2}  = 2\sqrt 2$

- Nếu $\sqrt 2  - \sqrt {x - 2}  < 0$ thì 

$\sqrt {x - 2}  > \sqrt 2  \Leftrightarrow x - 2 > 2 \Leftrightarrow x > 4$

Với x > 4 thì $\left| {\sqrt 2  - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt {x - 2}  - \sqrt 2$

Ta có: $\sqrt 2  + \sqrt {x - 2}  + \sqrt {x - 2}  - \sqrt 2  = 2\sqrt {x - 2}$