Câu 76 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm độ dài của dây cua- roa mắc qua hai dòng...

Hai ròng rọc có tâm O, O’ và bán kính R = 4a, R’ = a. Hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A theo góc 60⁰. Tìm độ dài của dây cua- roa mắc qua hai dòng dọc.

Giải

Vì hai tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A nên O, O’, A thẳng hàng.

$\widehat {OAM} = \widehat {OAP} = {1 \over 2}\widehat {MAP}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \widehat {OAM} = {30^0}$

Trong tam giác vuông OMA có $\widehat {OMA} = {90^0}$

$\Rightarrow MA = OM.\cot \widehat {OAM}$

            $= 4a\cos {30^0} = 4a\sqrt 3$

Trong tam giác vuông O’NA có$\widehat {O’NA} = {90^0}$

$\Rightarrow NA = O’N\cot \widehat {O’AN} = a\cot {30^0} = a\sqrt 3$

$MN = MA - NA = 4a\sqrt 3  - a\sqrt 3  = 3a\sqrt 3$

Trong tứ giác O’NAQ có $\widehat N = \widehat Q = {90^0}$; $\widehat A = {60^0}$

Suy ra: $\widehat {NO’Q} = {120^0}$

Độ dài cung nhỏ $\overparen{NQ}$ là: ${l_1} = {{\pi .a.120} \over {180}} = {{2\pi a} \over 3}$

Trong tứ giác OMAP có $\widehat M = \widehat P = {90^0}$; \(\widehat A = {60^0}\\)

Suy ra: $\widehat {MOP} = {120^0}$ nên số đo cung nhỏ $\overparen{MP}$ bằng 120⁰

  sđ $\overparen{MnP}$ $= {360^0} - {120^0} = {240^0}$

Độ dài cung lớn $\overparen{MnP}$ là ${l_2}$ $= {{\pi .4a.240} \over {180}} = {{16\pi a} \over 3}$

Chiều dài của dây cua – roa mắc qua hai ròng rọc là:

\(2MN + {l_1} + {l_2} = 2.3a\sqrt 3  + {{2\pi a} \over 3} + {{16\pi a} \over 3}\(

                        =$6a\sqrt 3  + 6\pi a = 6a\left( {\sqrt 3  + \pi } \right)$