Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng:
a) MNQP là hình thang cân.
b) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).
c) MN + PQ = MP + NQ.
a) Vì M và P đối xứng qua trục OO’ nên OO’ là đường trung trực của MP.
Suy ra: OP = OM
Khi đó P thuộc (O) và MP ⊥ OO’ (1)
Vì N và Q đối xứng qua trục OO’ nên OO’ là đường trung trực của NQ
Suy ra: O’N = O’Q
Khi đó Q thuộc (O’) và NQ ⊥ OO’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MP // NQ
Tứ giác MNQP là hình thang.
Vì OO’ là đường trung trực của MP và NQ nên OO’ đi qua trung điểm hai đáy hình thang MNQP, OO’ đồng thời cũng là trục đối xứng của hình thang MNQP nên MNQP là hình thang cân.
b) Ta có: MN ⊥ OM ( tính chất tiếp tuyến)
Suy ra: \(\widehat {OMN} = 90^\circ \) hay \(\widehat {OMP} + \widehat {PMN} = 90^\circ \) (3)
OM = OP( = R) nên tam giác OMP cân tại O
Suy ra: \(\widehat {OPM} = \widehat {OMP}\) (4)
Lại có MNQP là hình thang cân nên \(\widehat {PMN} = \widehat {QPM}\) (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra: \(\widehat {OPM} + \widehat {QPM} = 90^\circ \)
Suy ra: QP ⊥ OP tại P
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Ta có: MN ⊥ O’N ( tính chất tiếp tuyến)
Suy ra: \(\widehat {O’NM} = 90^\circ \)
Mà \(\widehat {O’MN} = \widehat {MNQ} - \widehat {O’NQ} = 90^\circ \) (6)
O’N = O’Q ( = R’) nên tam giác O’NQ cân tại O’
Suy ra: \(\widehat {O’NQ} = \widehat {O’QN}\ (7)
Lại có MNQP là hình thang cân nên \(\widehat {MNQ} = \widehat {PQN}\) (8)
Từ (6), (7) và (8) suy ra: \(\widehat {PQN} - \widehat {O’QN} = 90^\circ \) hay \(\widehat {O’QP} = 90^\circ \)
Suy ra: QP ⊥ O’Q tại Q
Vậy PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
c) Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt MN tại E và PQ tại F
Trong đường tròn (O), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
EM = EA và FP = FA
Trong đường tròn (O’), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
EN = EA và FQ = FA
Suy ra: \(EM = EA = EN = {1 \over 2}MN\)
\(FP = FA = FQ = {1 \over 2}PQ\)
Suy ra: MN +PQ = 2EA + 2FA = 2(EA + FA) = 2EF (9)
Vì EF là đường trung bình của hình thang MNQP nên:
\(EF = {{MP + NQ} \over 2}\) hay MP + NQ = 2EF (10)
Từ (9) và (10) suy ra: MN + PQ = MP + NQ.