Câu 78 trang 170 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O ; 2cm) và (O’ ; 3cm), OO’ = 6cm....

Cho đường tròn (O ; 2cm) và (O’ ; 3cm), OO’ = 6cm.

a)      Hai đường tròn (O), (O’) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau?

b)      Vẽ đường tròn (O’ ; 1cm) rồi kẻ tiếp tuyến OA với đường tròn đó ( A là tiếp điểm). Tia O’A cắt đường tròn (O’ ; 3cm) ở B. Kẻ bán kính OC của đường tròn (O) song song với O’B, B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ OO’. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O ; 2cm) và (O’ ; 3cm).

c)      Tính độ dài BC.

d)     Gọi I là giao điểm của BC và OO’. Tính độ dài IO.

a) Vì OO’ = 6 > 2 + 3 hay OO’ > R + R’ nên hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.

b) Xét tứ giác ABCO  ta có:

         AB // CO (gt)                                      (1)

Mà:        AB = O’B – O’A = 3 – 1 = 2 (cm)

Suy ra:   AB = OC = 2 (cm)                               (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ABCO là hình bình hành.

Lại có: OA  ⊥ O’A ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: $\widehat {OAO’} = 90^\circ$ hay $\widehat {OAB} = 90^\circ$

Tứ giác ABCO là hình chữ nhật

Suy ra: $\widehat {OCB} = \widehat {ABC} = 90^\circ$

Suy ra: BC  ⊥ OC và BC ⊥ O’B

Vậy BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

c) Vì tứ giác ABCO là hình chữ nhật nên OA = BC

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OAO’, ta có:

OO’² = OA² + O’A²

 ⇒OA² = OO’² – O’A² = 6² – 1² = 35

$⇒ OA =\sqrt {35}(cm)$

Vậy $BC = \sqrt {35} (cm)$

d) Trong tam giác O’BI có OC // O’B

Suy ra: ${{IO} \over {IO’}} = {{OC} \over {O’B}}$ (hệ quả định lí Ta-lét)

$⇒{{IO} \over {IO’ - IO}} = {{OC} \over {O’B - OC}} \Rightarrow {{IO} \over {O’O}} = {2 \over {3 - 2}} \Rightarrow {{IO} \over 6} = {2 \over 1}$

Vậy $OI = {{6.2} \over 1} = 12 (cm)$