Câu 84 trang 120 SBT Toán 9 Tập 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a...

Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho

 AD = DE = EC.

a) Chứng minh: ${{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}$

b) Chứng minh ∆BDE  đồng dạng  ∆CDB

c) Tính tổng $\widehat {AEB} + \widehat {BCD}$ bằng hai cách

Cách 1: sử dụng kết quả ở câu b);

Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác.

Gợi ý làm bài

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO, ta có:

$B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}$

Suy ra: $BD = a\sqrt 2$

Ta có: 

$\eqalign{ & {{DE} \over {DB}} = {a \over {a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}; \cr  & {{DB} \over {DC}} = {{a\sqrt 2 } \over {2a}} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr}$

Vậy ${{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}$

b) Xét ∆BDE và ∆CDB, ta có:

${{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\,(1)$

$\widehat {BDE} = \widehat {BDC}\,(2)$

Từ (1) và (2) suy ra ∆BDE đồng dạng ∆CDB.

c) * Cách 1:

Ta có: ∆BDE đồng dạng ∆CDE $\Rightarrow \widehat {BED} = \widehat {CBD}$

Mặt khác:

$\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = \widehat {BED} + \widehat {BCD} = \widehat {CBD} + \widehat {BCD}\,(3)$

Trong ∆BCD, ta có:

$\widehat {ADB} = \widehat {CBD} = \widehat {BCD}$ (tính chất góc ngoài) (4)

$\widehat {ADB} = 45^\circ$ (vì ∆ABD vuông cân tại A) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: $\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ$

*  Cách 2:

Trong tam giác ABC, ta có: 

$tg\widehat {AEB} = {{AB} \over {AC}} = {a \over {2a}} = {1 \over 2}$

Suy ra: $\widehat {AEB} = 26^\circ 34’$

Trong tam giác vuông ABC, ta có: 

$tg\widehat {ACB} = {{AB} \over {AC}} = {a \over {3a}} = {1 \over 3}$

Suy ra: $\widehat {ACB} = 18^\circ 26’$

Vậy: $\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ$