Câu 91 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau, đường...

Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a.

a) Tính ${{\sin B + c{\rm{osB}}} \over {\sin B - c{\rm{osB}}}}.$

b) Tính chiều cao của hình thang ABCD.

Gợi ý làm bài

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

$A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} = {(5a)^2} + {(12a)^2} = 169{a^2}$

Suy ra: $AB = \sqrt {169{a^2}}  = 13a$

Ta có: $\sin \widehat B = {{AC} \over {AB}} = {{12a} \over {13a}} = {{12} \over {13}}$

$\cos \widehat B = {{BC} \over {AB}} = {{5a} \over {13a}} = {5 \over {13}}$

Suy ra: 

${{\sin \widehat B + \cos \widehat B} \over {\sin \widehat B - \cos \widehat B}} = {{{{12} \over {13}} + {5 \over {13}}} \over {{{12} \over {13}} - {5 \over {13}}}} = {{{{17} \over {13}}} \over {{7 \over {13}}}} = {{17} \over {13}}.{{13} \over 7} = {{17} \over 7}$

b) Kẻ $CH \bot AB$

Trong tam giác vuông BCH, ta có:

$CH = CB.\sin \widehat B = 5a.{{12} \over {13}} = {{60a} \over {13}}$