Hoạt động 7 trang 136 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1: Gọi K là giao điểm đường phân giác của góc A...

Gọi K là giao điểm đường phân giác của góc A với các đường phân giác của hai góc ngoài tại B và C của tam giác ABC. D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ K xuống các đường thẳng BC, AC, AB.

a) Chứng minh rằng KD = KF.

b) Chứng minh rằng KD = KE. Suy ra ba điểm D, E và F cùng nằm trên một đường tròn.

 a) Xét hai tam giác vuông ${\Delta _v}BKF$ và ${\Delta _v}BKD$ có:

$\begin{array}{l}BK\,\,chung\\\widehat {KBF} = \widehat {KBD}\,\,\left( {gt} \right)\end{array}$

$\Rightarrow {\Delta _v}BKF = {\Delta _v}BKD$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow KD = KF$ (2 cạnh tương ứng)

b) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được $\Delta CKD = \Delta CKE$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow KD = KE$ (2 cạnh tương ứng).

Vậy $KD = KE = KF$ hay các điểm $D,\,\,E,\,\,F$ cùng thuộc một đường tròn $\left( {K;KD} \right)$.

 Baitapsgk.com