Bài 23 trang 76 sgk Toán lớp 9 tập 2, Bài 23. Cho đường tròn (O)...

Bài 23. Cho đường tròn $(O)$ và một điểm $M$ cố định không nằm trên đường tròn. Qua $M$ kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt $(O)$ tại $A$ và $B$.Đường thẳng thứ nhất cắt $(O)$ tại $C$ và $D$.

Chứng minh $MA. MB = MC. MD$

Hướng dẫn giải:

Xét hai trường hợp:

a) $M$ ở bên trong đường tròn (hình a)

Xét hai tam giác $MAB’$ và $MA’B$ có:

              $\widehat{M_{1}}$ = $\widehat{M_{2}}$ ( đối đỉnh)

              $\widehat{B’}$ = $\widehat{B}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung  $AA’$).

Do đó $∆MAB’$ đồng dạng $∆MA’B$, suy ra:

             $\frac{MA}{MA’}$ = $\frac{MB’}{MB}$, do đó $MA. MB = MB’. MA’$

b) \(M ở bên ngoài đường tròn (hình b)

Tương tự ta có:

$∆MAB’$ đồng dạng $∆MA’B$

     $\widehat{M}$ chung  

     $\widehat{B’}$ = $\widehat{B}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AA’$).

Suy ra:     $\frac{MA}{MA’}$ = $\frac{MB’}{MB}$

          hay $MA. MB = MB’. MA’$