Bài 42. Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn. \(P, Q, R\) theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn \(BC, CA, AB\) bởi các góc \(A, B, C\).
a) Chứng minh \(AP \bot QR\)
b) \(AP\) cắt \(CR\) tại \(I\). Chứng minh tam giác \(CPI\) là tam giác cân
Hướng dẫn giải:
a) Gọi giao điểm của \(AP\) và \(QR\) là \(K\).
\(\widehat{AKR}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên
\(\widehat{AKR}\) = \(\frac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}}{2}\)=\(\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{BC}}{4}=90^0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(\widehat{AKR} = 90^0\) hay \(AP \bot QR\)
b) \(\widehat{CIP}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên:
\(\widehat{CIP}\) = \(\frac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{CP}}{2}\) (1)
\(\widehat {PCI}\) góc nội tiếp, nên \(\widehat {PCI}\)= \(\frac{sđ\overparen{RB}+sđ\overparen{BP}}{2}\) (2)
Theo giả thiết thì cung \(\overparen{AR} = \overparen{RB}\) (3)
Cung \(\overparen{CP} = \overparen{BP}\) (4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: \(\widehat {CIP}=\widehat {PCI}\). Do đó \(∆CPI\) cân.