Bài 40 trang 82 SBT toán 10 Cánh diều: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:...

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) ${d_1}:2x - 3y + 5 = 0$ và ${d_2}:2x + y - 1 = 0$

b) ${d_3}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 3t\\y = 3 + t\end{array} \right.$ và ${d_4}:x + 3y - 5 = 0$

c) ${d_5}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y =  - 1 + t\end{array} \right.$ và ${d_6}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2t’\\y = 1 - {t^’}\end{array} \right.$

Bước 1: Đưa các phương trình về dạng PTTQ

Bước 2: Giải hệ 2 PT đường thẳng và xét số nghiệm của hệ để tìm vị trí tương đối của các đường thẳng

* Với ý b) có thể xét 2 VTPT của d₃ và d₄. Nếu 2 vectơ cùng phương thì lấy 1 điểm trên đường thẳng này và xét xem có thuộc đường thẳng kia hay không. Trong trường hợp không thuộc thì d₃ // d₄ và ngược lại thì d₃ trùng d₄.

* Với ý c) ta cũng có thể xét 2 VTCP của d₅ và d₆. Nếu 2 vectơ cùng phương thì lấy 1 điểm trên đường thẳng này và xét xem có thuộc đường thẳng kia hay không. Trong trường hợp không thuộc thì d₅ // d₆ và ngược lại thì d₅ trùng d₆.

a) ${d_1}:2x - 3y + 5 = 0$ và ${d_2}:2x + y - 1 = 0$

Tọa độ giao điểm của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ PT: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 5 = 0\\2x + y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y =  - 5\\2x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{4}\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.$

Hệ trên có một nghiệm duy nhất. Vậy d₁ và d₂ cắt nhau.

b) ${d_3}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 3t\\y = 3 + t\end{array} \right.$ và ${d_4}:x + 3y - 5 = 0$

d₃ đi qua điểm (-1; 3) và có VTCP là $\overrightarrow u  = ( - 3;1)$ $\Rightarrow$ d₃ có một VTPT là $\overrightarrow {{n_1}}  = (1;3)$

$\Rightarrow$ d₃ và d₄ có cùng VTPT nên d₃ // d₄ hoặc d₃ và d₄ trùng nhau

Thay tọa độ điểm (-1; 3) vào PT d₄ ta có: -1 + 3.3 – 5 = 3 ≠ 0 $\Rightarrow ( - 1;3) \notin {d_4}$

Vậy d₃ // d₄

c) ${d_5}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y =  - 1 + t\end{array} \right.$ và ${d_6}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2t’\\y = 1 - t’\end{array} \right.$

d₅ đi qua A(2; -1), có VTCP là $\overrightarrow {{u_1}}  = ( - 2;1)$

d₆ đi qua B(-2; 1), có VTCP là $\overrightarrow {{u_2}}  = (2; - 1)$

Ta thấy $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương nên d₅ // d₆ hoặc d₅ và d₆ trùng nhau

Thay tọa độ điểm A vào PT d6 ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2 =  - 2 + 2t’\\ - 1 = 1 - t’\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t’ = 2\\t’ = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow t’ = 2 \Rightarrow A \in {d_6}$

Vậy d₅ và d₆ trùng nhau