Bài 3.12 trang 39 SBT Toán 10 Kết nối tri thức: Một cây cổ thụ mạc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc ({10^ circ }) so với p...

Một cây cổ thụ mạc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc ${10^ \circ }$ so với phương nằm ngang. Từ một điểm dưới chân dốc, cách gốc cây 31 m người ta nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc ${40^ \circ }$ so với phương nằm ngang. Hãy tính chiều cao của cây.

- Tính $\widehat {BAC}$ và $\widehat {ACB}$

- Áp dụng định lý sin, tính cạnh $BC:\frac{{BC}}{{\sin BAC}} = \frac{{AB}}{{\sin ACB}}$

Giả sử con dốc là AB, gốc cây đặt tại B, chiều cao cây cổ thụ là đoạn CB.

Khi đó ta có: $\widehat {BAD} = {10^ \circ },\, \widehat {CAD} = {40^ \circ }$ và $AB=31m$

Xét $\Delta ADC$ vuông tại $D$ có: $\widehat {ACB} = {90^ \circ } - \widehat {DAC} = {90^ \circ } - {40^ \circ } = {50^ \circ }.$

Ta có: $\widehat {CAB} = \widehat {DAC} - \widehat {DAB} = {40^ \circ } - {10^ \circ } = {30^ \circ }.$

Chiều cao của cây là:

Áp dụng định lý sin, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin BAC}} = \frac{{AB}}{{\sin ACB}}\,\, \Rightarrow \,\,BC = \frac{{AB.\sin BAC}}{{\sin ACB}}\\ \Rightarrow \,\,BC = \frac{{31.\sin {{30}^ \circ }}}{{\sin {{50}^ \circ }}} \approx 20,23\,\,m\end{array}$