Giải bài 3.14 trang 39 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống - Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác : Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc. Chứng minh rằng a2+b2=5c2.
Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc. Chứng minh rằng:
a) a2+b2=5c2.
b) cotC=2(cotA+cotB).
- Sử dụng định lý Pi-ta-go để tính c2 và tích chất trọng tâm
- Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác
- Sử dụng định lý cosin và diện tích của tam giác
Advertisements (Quảng cáo)
a) a2+b2=5c2.
Xét ΔAGB vuông tại G có:
c2=AB2=AG2+BG2c2=(23AM)2+(23BN)2c2=49(b2+c22−a24)+49(a2+c22−b24)c2=49(a2+b2+2c22−a2+b24)c2=49.a2+b2+4c24⇔9c2=a2+b2+4c2⇔a2+b2=5c2(dpcm)
b) cotC=2(cotA+cotB).
cotC=cosCsinC=a2+b2−c22ab2Sab=a2+b2−c24S=c2S2(cotA+cotB)=2(cosAsinA+cosBsinB)=2(b2+c2−a24S+a2+c2−b24S)=2.2c24S=c2S⇒cotC=2(cotA+cotB)(dpcm)