Bài 3.7 trang 38 SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức: Cho tam giác (ABC) có (widehat A = {45^ circ },,,widehat C = {30^ circ },,...

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat A = {45^ \circ },\,\,\widehat C = {30^ \circ },\,\,c = 12.$

a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác.

b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

c) Tính diện tích của tam giác.

d) Tính độ dài các đường cao của tam giác.

-  Tính $\widehat B = {180^ \circ } - \widehat A - \widehat C$

-  Áp dụng công thức $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$ để tính cách cạnh $a,\,\,b$

-  Áp dụng định lý sin để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $\frac{c}{{\sin C}} = 2R.$

-  Áp dụng công thức tính diện tích $S = \frac{{abc}}{{4R}}.$

-  Áp dụng công thức tính diện tích để tính độ dài các đường cao $S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{1}{2}b.{h_b} = \frac{1}{2}c.{h_c}$.

a) Xét $\Delta ABC$ có $\widehat B = {180^ \circ } - \widehat A - \widehat C = {180^ \circ } - {45^ \circ } - {30^ \circ } = {105^ \circ }.$

Áp dụng định lý sin ta được:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}}\\{\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin {{45}^ \circ }}} = \frac{{12}}{{\sin {{30}^ \circ }}}}\\{\frac{b}{{\sin {{105}^ \circ }}} = \frac{{12}}{{\sin {{30}^ \circ }}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,} \right.} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{12\sin {{45}^ \circ }}}{{\sin {{30}^ \circ }}} = 12\sqrt 2 }\\{b = \frac{{12\sin {{105}^ \circ }}}{{\sin {{30}^ \circ }}} = 6\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}\end{array}} \right.$

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là:

Áp dụng định lý sin ta được:

$\frac{c}{{\sin C}} = 2R\,\, \Rightarrow \,\,R = \frac{c}{{2\sin C}} = \frac{{12}}{{2\sin {{30}^ \circ }}} = \frac{{12}}{{2.\frac{1}{2}}} = 12.$

c) Diện tích $\Delta ABC$ là:

$S = \frac{1}{2}ab.\sin C = \frac{1}{2}.12\sqrt 2 .6\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right).\sin {30^ \circ } = 36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)$ (đvdt).

d) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = \frac{1}{2}a.{h_a}}\\{S = \frac{1}{2}b.{h_b}}\\{S = \frac{1}{2}c.{h_c}}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{h_a} = \frac{{2S}}{a}}\\{{h_b} = \frac{{2S}}{b}}\\{{h_c} = \frac{{2S}}{c}}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{h_a} = \frac{{2.36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{12\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}\\{{h_b} = \frac{{2.36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{6\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}} = 6\sqrt 2 }\\{{h_c} = \frac{{2.36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{12}} = 6\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}\end{array}} \right.$