Giải bài 4.62 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Cho hình bình hành $ABCD.$ Gọi $M,\,\,N$ theo thứ tự là trung điểm các cạnh $AB,\,\,CD.$ Lấy $P$ thuộc đoạn $DM$ và $Q$ thuộc đoạn $BN$ sao cho $DP = 2PM,\,\,BQ = xQN.$ Đặt $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow u$ và $\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow v .$

a) Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow {AP} ,\,\,\overrightarrow {AQ}$ qua hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v .$

b) Tìm $x$ để $A,\,\,P,\,\,Q$ thẳng hàng.

a) Ta có: $\overrightarrow {AP}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DP}$

$\begin{array}{l} = \overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {DM} \\ = \overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \\ = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{3}\overrightarrow u  + \frac{1}{3}\overrightarrow v \end{array}$

Ta có: $BQ = xQN$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {BQ}  = x\overrightarrow {QN}$

$\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {AQ}  - \overrightarrow {AB}  = x\left( {\overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AQ} } \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 1} \right)\overrightarrow {AQ}  = \overrightarrow {AB}  + x\overrightarrow {AN} \\ \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 1} \right)\overrightarrow {AQ}  = \overrightarrow {AB}  + x\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN} } \right) = x\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB}  + x.\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 1} \right)\overrightarrow {AQ}  = x\overrightarrow {AD}  + \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)\overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 1} \right)\overrightarrow {AQ}  = x\overrightarrow v  + \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)\overrightarrow u \\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {AQ}  = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}\overrightarrow u  + \frac{x}{{x + 1}}\overrightarrow v \end{array}$

b) Để $A,\,\,P,\,\,Q$ thẳng hàng

$\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {AP}$ và $\overrightarrow {AQ}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \,\,\frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}:\frac{1}{3} = \frac{x}{{x + 1}}:\frac{1}{3}$ (Điều kiện: $x \ne  - 1$)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\frac{{x + 2}}{2} = x\\ \Leftrightarrow \,\,2x = x + 2\end{array}$

$\Leftrightarrow \,\,x = 2$ (thỏa mãn)

Vậy $x = 2$ thì $A,\,\,P,\,\,Q$ thẳng hàng