Bài 7 trang 6 SBT Hình 10 nâng cao: Bài 1 2 3. Vec tơ tổng hiệu của hai vec tơ...

Cho hình ngũ giác đều $ABCDE$ tâm $O$. Chứng minh rằng

$\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OE}  = \overrightarrow 0$.

Hãy phát biểu bài toán trong trường hợp n-giác đều.

Đặt $\overrightarrow u  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OE}$.

Ta có thể viết:

$\overrightarrow u  = \overrightarrow {OA}  + (\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OE} ) + (\overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OC} )$.

Vì $OA$ là phân giác của góc $BOE$ và $OE = OB$ nên tổng $\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OE}$ là một vec tơ nằm trên đường thẳng $OA$.

Tương tự, vec tơ tổng $\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}$ là một vec tơ cũng nằm trên đường thẳng $OA$. Vậy $\overrightarrow u$ là một vec tơ nằm trên đường thẳng $OA$. Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có $\overrightarrow u$ cũng là một vec tơ nằm trên đường thẳng $OB$. Từ đó suy ra $\overrightarrow u$ phải là vec tơ –không: $\overrightarrow u  = \overrightarrow 0$.

Bài toán trong trường hợp n-giác đều:

Nếu $A_1A_2…A_n$ là n-giác đều tâm $O$ thì $\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{A_n}}  = \overrightarrow 0$.