Câu 38 trang 243 SBT Đại số 10 Nâng cao: từ đó ta có...

Chứng minh rằng nếu $\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = \dfrac{1}{3}\sin \beta ,$ thì $\tan \left( {\alpha  - \beta } \right) = \dfrac{{\sin \alpha }}{{3 + \cos \alpha }}.$

$\begin{array}{l}3\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = \sin \left( {\beta  - \alpha  + \alpha } \right)\\ = \sin \alpha \cos \left( {\alpha  - \beta } \right) - \sin \left( {\alpha  - \beta } \right)\cos \alpha \end{array}$

từ đó ta có

$\left( {3 + \cos \alpha } \right)\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = \sin \alpha \cos \left( {\alpha  - \beta } \right)\,\,\,\left( * \right)$ vậy $\tan \left( {\alpha  - \beta } \right) = \dfrac{{\sin \alpha }}{{3 + \cos \alpha }}.$

(Chú ý. $\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) \ne 0$ vì nếu $\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) = 0$ thì từ (*) ta suy ra $\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = 0$, vô lí).