Advertisements (Quảng cáo)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\left( {a > b > 1} \right).\) Một góc vuông uOv (vuông tại O) quay quanh gốc O, cắt elip (E) tại M và N. Chứng minh rằng \({1 \over {O{M^2}}} + {1 \over {O{N^2}}}\) không đổi, từ đó suy ra MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Gợi ý làm bài
(Xem hình 3.35)
Gọi y = kx và \(y = – {1 \over k}x\) là phương trình của Ou và Ov.
Phương trình hoành độ giao điểm của Ou và elip (E):
\({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{k^2}{x^2}} \over {{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow x_M^2 = {{{a^2}{b^2}} \over {{b^2} + {k^2}{a^2}}}.\)
Ta có :
\(\eqalign{
& O{M^2} = x_M^2 + y_M^2 \cr
& = x_M^2 + {k^2}x_M^2 = x_M^2({k^2} + 1) \cr
& = {{{a^2}{b^2}(1 + {k^2})} \over {{b^2} + {k^2}{a^2}}} \cr} \)
………….
Suy ra : \({1 \over {O{M^2}}} = {{{b^2} + {k^2}{a^2}} \over {{a^2}{b^2}(1 + {k^2})}}.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Tương tự:
\(\eqalign{
& {1 \over {O{N^2}}} = {{{b^2} + {1 \over {{k^2}}}{a^2}} \over {{a^2}{b^2}\left( {1 + {1 \over {{k^2}}}} \right)}} \cr
& = {{{a^2} + {k^2}{b^2}} \over {{a^2}{b^2}(1 + {k^2})}}. \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& {1 \over {O{M^2}}} + {1 \over {O{N^2}}} \cr
& = {{{a^2} + {b^2} + {k^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \over {{a^2}{b^2}\left( {1 + {k^2}} \right)}} \cr
& = {{{a^2} + {b^2}} \over {{a^2}{b^2}}}. \cr} \)
Vậy \({1 \over {O{M^2}}} + {1 \over {O{N^2}}}\) không đổi.
Vẽ đường cao OH của tam giác vuông OMN.
Ta có : \({1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{M^2}}} + {1 \over {O{N^2}}} = {{{a^2} + {b^2}} \over {{a^2}{b^2}}}.\)
Suy ra: \(OH = {{ab} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = R\) không đổi
Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâ O bán kính \(R = {{ab} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)