Bài 12 trang 198 Sách bài tập Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E)...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): ${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\left( {a > b > 1} \right).$ Một góc vuông uOv (vuông tại O) quay quanh gốc O, cắt elip (E) tại M và N. Chứng minh rằng ${1 \over {O{M^2}}} + {1 \over {O{N^2}}}$ không đổi, từ đó suy ra MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.35)

Gọi y = kx và $y =  - {1 \over k}x$ là phương trình của Ou và Ov. 

Phương trình hoành độ giao điểm của Ou và elip (E):

${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{k^2}{x^2}} \over {{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow x_M^2 = {{{a^2}{b^2}} \over {{b^2} + {k^2}{a^2}}}.$

Ta có : 

$\eqalign{ & O{M^2} = x_M^2 + y_M^2 \cr & = x_M^2 + {k^2}x_M^2 = x_M^2({k^2} + 1) \cr & = {{{a^2}{b^2}(1 + {k^2})} \over {{b^2} + {k^2}{a^2}}} \cr}$

.............

Suy ra : ${1 \over {O{M^2}}} = {{{b^2} + {k^2}{a^2}} \over {{a^2}{b^2}(1 + {k^2})}}.$

Tương tự:

$\eqalign{ & {1 \over {O{N^2}}} = {{{b^2} + {1 \over {{k^2}}}{a^2}} \over {{a^2}{b^2}\left( {1 + {1 \over {{k^2}}}} \right)}} \cr & = {{{a^2} + {k^2}{b^2}} \over {{a^2}{b^2}(1 + {k^2})}}. \cr}$

Suy ra: 

$\eqalign{ & {1 \over {O{M^2}}} + {1 \over {O{N^2}}} \cr & = {{{a^2} + {b^2} + {k^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \over {{a^2}{b^2}\left( {1 + {k^2}} \right)}} \cr & = {{{a^2} + {b^2}} \over {{a^2}{b^2}}}. \cr}$

Vậy ${1 \over {O{M^2}}} + {1 \over {O{N^2}}}$ không đổi.

Vẽ đường cao OH của tam giác vuông OMN.

Ta có : ${1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{M^2}}} + {1 \over {O{N^2}}} = {{{a^2} + {b^2}} \over {{a^2}{b^2}}}.$

Suy ra: $OH = {{ab} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = R$ không đổi

Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâ O bán kính $R = {{ab} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$