Bài 22 trang 199 SBT Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có ${x_A} = 2$, điểm C và trung điểm K của AD cùng thuộc trục Oy, tâm I thuộc trục Ox, AD = 2AB. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết rằng K có tung độ âm.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.45)

Đặt A(2 ; a); K(0 ; k); C(0 ; c); I(1 ; 0) là tọa độ các điểm đã cho ta có:

${{a + c} \over 2} = 0 \Rightarrow c =  - a.$

$AD = 2AB \Rightarrow AK = 2KI.$ Ta có: $\overrightarrow {AK}  = ( - 2;k - 1),\,\overrightarrow {IK}  = ( - 1;k)$

$\left\{ \matrix{ \overrightarrow {AK} .\overrightarrow {IK} = o \hfill \cr \left| {\overrightarrow {AK} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {IK} } \right| \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2 + k(k - a) = 0 \hfill \cr {\overrightarrow {AK} ^2} = 4{\overrightarrow {IK} ^2} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ k - a = - {k \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr 4 + {(k - a)^2} = 4(1 + {k^2})\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.$

Thay (1) vào (2) ta được:

$\eqalign{ & 4 + {4 \over {{k^2}}} = 4\left( {1 + {k^2}} \right) \cr & \Leftrightarrow 4{k^2} + 4 = 4{k^2} + 4{k^4} \cr & \Leftrightarrow {k^2} = 1 \Leftrightarrow k = - 1\,\,(k < 0). \cr}$

Suy ra a = -3.

Vậy A(2 ; -3), C(0 ; 3) và K(0 ; -1).

Ta có:

$\eqalign{ & \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AK} \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} - 2 = 2.(0 - 2) \hfill \cr {y_D} + 3 = 2.( - 1 + 3) \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} = 2 \hfill \cr {y_D} = 1. \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy D(-2 ; 1)

Ta có:

$\eqalign{ & \overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DI} \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_B} + 2 = 2.(1 + 2) \hfill \cr {y_B} - 1 = 2.(0 - 1) \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_B} = 4 \hfill \cr {y_B} = - 1. \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy B(4 ; -1).