Bài 15 trang 198 SBT Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB: 3x + 5y - 33 = 0; đường cao  AH: 7x + y - 13 = 0; trung tuyến BM: x + 6y - 24 = 0 (M là trung điểm của AC). Tìm phương trình các cạnh còn lại của tam giác.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.38)

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ 3x + 5y - 33 = 0\,\,\,\,\,\,\,(AB) \hfill \cr 7x + y - 13 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(AH). \hfill \cr} \right.$

Vậy A(1 ; 6)

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ 3x + 5y - 33 = 0\,\,\,\,\,\,\,(AB) \hfill \cr x + 6y - 24 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(BM) \hfill \cr} \right.$

Vậy B(6 ; 3).

Đặt C(x;y) ta suy ra trung điểm M của AC có tọa độ $M\left( {{{x + 1} \over 2};{{y + 6} \over 2}} \right).$

Ta có: $\overrightarrow {BC}  = \left( {x - 6;y - 3} \right)$

${\overrightarrow u _{AH}} = (1; - 7)$

Ta có: $\left\{ \matrix{ M \in BM \hfill \cr \overrightarrow {BC} .{\overrightarrow u _{AH}} = 0 \hfill \cr} \right.$

Suy ra tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ \left( {{{x + 1} \over 2}} \right) + 6\left( {{{y + 6} \over 2}} \right) \hfill \cr x - 6 - 7(y - 3) = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x + 6y - 11 = 0 \hfill \cr x - 7y + 15 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr y = 2. \hfill \cr} \right.$

Vậy C(-1 ; 2).

Phương trình cạnh BC: x - 7y + 15 = 0

Phương trình cạnh AC: 2x - y + 4 = 0.