Bài 10 trang 198 Sách bài tập Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E)...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): ${{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1$. Gọi hai tiêu điểm của (E) lần lượt là ${F_1},{F_2}$ và M thuộc (E) sao cho $\widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^ \circ }$ . Tìm tọa độ điểm M và tính diện tích tam giác  $M{F_1}{F_2}$

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.33)

Elip (E) có phương trình chính tắc: ${{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1.$

Ta có : a = 5, b = 3. Suy ra ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16.$

Vậy c = 4.

Xét điểm M(x;y) thuộc elip, ta có:

$\left\{ \matrix{ {F_1}M = a + {c \over a}x = 5 + {4 \over 5}x \hfill \cr {F_2}M = a - {c \over a}x = 5 - {4 \over 5}x \hfill \cr} \right.$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ${F_1}M{F_2}$ ta có:

${F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_1}.M{F_2}\cos {60^ \circ }$

$\Leftrightarrow 4{c^2} = {\left( {5 + {4 \over 5}x} \right)^2} + {\left( {5 - {4 \over 5}x} \right)^2} - 2\left( {25 - {{16} \over {25}}{x^2}} \right).{1 \over 2}$

$\Leftrightarrow 64 = 25 + {{48} \over {25}}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = {{25} \over {16}}.13 \Leftrightarrow x =  \pm {5 \over 4}\sqrt {13} \,\,(1)$

Ta lại có: $M \in \left( E \right) \Rightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\,\,\,\,\,(2)$

Thay (1) vào phương trình (2) ta được:

${{{y^2}} \over 9} = 1 - {{13} \over {16}} \Leftrightarrow {y^2} = {9 \over {16}}.3 \Leftrightarrow y =  \pm {3 \over 4}\sqrt 3 .$

Vậy có bốn điểm M thỏa mãn đề bài. Chúng có tọa độ là $\left( { \pm {5 \over 4}\sqrt {13} ; \pm {3 \over 4}\sqrt 3 } \right).$