Bài 13 trang 198 SBT Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : $(x - 1) + {(y - 2)^2} = 4$ và hai điểm A(1 ; 4),     . Viết phương trình đường thẳng d đi qua B cắt đường tròn (C) tại M, N sao cho AMN có diện tích lớn nhất.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.36)

Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 2) và có bán kính R = 2.

Ta có ${x_A} = {x_1} = {x_B} = 1$

Suy ra A, I, B cùng thuộc đường thẳng có phương trình x = 1.

Ta có: $IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}}  = 2 = R$

$IB = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {{1 \over 2} - 2} \right)}^2}}  = {3 \over 2} < R.$

Suy ra điểm A nằm trên đường tròn và điểm B nằm trong hình tròn.

Gọi H và K là hình chiếu của I và A xuống đường thẳng d.

Ta có:

${{{S_{AMN}}} \over {{S_{IMN}}}} = {{AK} \over {IH}} = {{AB} \over {IB}} = {{{7 \over 2}} \over {{3 \over 2}}} = {7 \over 3}.$

Suy ra ${S_{AMN}} = {7 \over 3}{S_{IMN}}$

$= {7 \over 3}.{1 \over 2}.I{\rm{I}}\sin MIN$

$= {{14} \over 3}\sin MIN \le {{14} \over 3}.$

${S_{AMN}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow \sin MIN = 1 \Leftrightarrow \widehat {MIN} = {90^ \circ }$

$\Leftrightarrow IH = {{R\sqrt 2 } \over 2} \Leftrightarrow d(I,MN) = \sqrt 2$

Phương trình đường thẳng MN là : 

$y - {1 \over 2} = k(x - 1) \Leftrightarrow 2kx - 2y + (1 - 2k) = 0.$

Ta có:

$\eqalign{ & d(I,MN) = \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow {{\left| {2k - 4 + 1 - 2k} \right|} \over {\sqrt {4{k^2} + 4} }} = \sqrt 2 \cr}$

$\Leftrightarrow 3 = \sqrt {8({k^2} + 1)}  \Leftrightarrow k =  \pm {{\sqrt 2 } \over 4}.$

Vậy phương trình đường thẳng d là : $y =  \pm {{\sqrt 2 } \over 4}\left( {x - 1} \right) + {1 \over 2}$.