Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \((x - 1) + {(y - 2)^2} = 4\) và hai điểm A(1 ; 4), . Viết phương trình đường thẳng d đi qua B cắt đường tròn (C) tại M, N sao cho AMN có diện tích lớn nhất.
Gợi ý làm bài
(Xem hình 3.36)
Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 2) và có bán kính R = 2.
Ta có \({x_A} = {x_1} = {x_B} = 1\)
Suy ra A, I, B cùng thuộc đường thẳng có phương trình x = 1.
Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = 2 = R\)
\(IB = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {{1 \over 2} - 2} \right)}^2}} = {3 \over 2} < R.\)
Suy ra điểm A nằm trên đường tròn và điểm B nằm trong hình tròn.
Gọi H và K là hình chiếu của I và A xuống đường thẳng d.
Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\({{{S_{AMN}}} \over {{S_{IMN}}}} = {{AK} \over {IH}} = {{AB} \over {IB}} = {{{7 \over 2}} \over {{3 \over 2}}} = {7 \over 3}.\)
Suy ra \({S_{AMN}} = {7 \over 3}{S_{IMN}}\)
\( = {7 \over 3}.{1 \over 2}.I{\rm{I}}\sin MIN\)
\( = {{14} \over 3}\sin MIN \le {{14} \over 3}.\)
\({S_{AMN}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin MIN = 1 \Leftrightarrow \widehat {MIN} = {90^ \circ }\)
\(\Leftrightarrow IH = {{R\sqrt 2 } \over 2} \Leftrightarrow d(I,MN) = \sqrt 2 \)
Phương trình đường thẳng MN là :
\(y - {1 \over 2} = k(x - 1) \Leftrightarrow 2kx - 2y + (1 - 2k) = 0.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& d(I,MN) = \sqrt 2 \cr
& \Leftrightarrow {{\left| {2k - 4 + 1 - 2k} \right|} \over {\sqrt {4{k^2} + 4} }} = \sqrt 2 \cr} \)
\( \Leftrightarrow 3 = \sqrt {8({k^2} + 1)} \Leftrightarrow k = \pm {{\sqrt 2 } \over 4}.\)
Vậy phương trình đường thẳng d là : \(y = \pm {{\sqrt 2 } \over 4}\left( {x - 1} \right) + {1 \over 2}\).