Bài 17 trang 198 SBT Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn:

(C1) : ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4$

và (C2) : ${\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 16$

a) Chứng minh rằng hai đường tròn (C1) , (C2)  cắt nhau ;

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.40)

a) (C1) có tâm I(2 ; 2) và bán kính ${R_1} = 2$

   (C2) có tâm J(5 ; 3) và bán kính ${R_2} = 4$

Ta có:

$IJ = \sqrt {{{\left( {5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {10} .$

Do: ${R_2} - {R_1} < IJ < {R_2} + {R_1}$

Nên (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi $\Delta$ và $\Delta’$ là hai tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) . $\Delta$ tiếp xúc với (C1) và (C2) lần lượt tại A, B. $\Delta’$ tiếp xúc với (C1) và (C2) lần lượt tại A’, B’.

Ta có:

$\left\{ \matrix{ d(I,\Delta ) = d(I,{\Delta’}) = {R_1} = 2 \hfill \cr d(J,\Delta ) = d(J,{\Delta’}) = {R_2} = 4 \hfill \cr} \right. \Rightarrow IJ,\Delta$ và $\Delta’$ đồng quy tại M.

$\eqalign{ & {{JM} \over {IM}} = {{JB} \over {IA}} = {{{R_2}} \over {{R_1}}} = 2 \cr & \Rightarrow \overrightarrow {JM} = 2\overrightarrow {JI} \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_M} - 5 = 2.\left( {2 - 5} \right) \hfill \cr {y_M} - 3 = 2.(2 - 3 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_M} = - 1 \hfill \cr {y_M} = 1. \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy ta được M(-1 ; 1).