Bài 2.62 trang 105 SBT Toán Hình học 10: Cho tam giác ABC...

Cho tam giác ABC $\widehat {BAC} = {60^ \circ }$, AB = 4 và AC = 6.

a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}$, độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;

b) Lấy các điểm M, N định bởi: $2\overrightarrow {AM}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {NB}  + x\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 (x \ne  - 1)$. Định x để AN vuông góc với BM.

Gợi ý làm bài

a) 

$\eqalign{ & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos A \cr & = 4.6.\left( {{1 \over 2}} \right) = 12 \cr}$

$\eqalign{ & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) \cr & = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} = 12 - 16 = - 4 \cr & B{C^2} = {(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )^2} \cr & = A{C^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + A{B^2} \cr & = 36 - 2.12 + 16 = 28 \cr & \Rightarrow BC = 2\sqrt {7.} \cr}$

$R = {{BC} \over {2\sin A}} = {{2\sqrt 7 } \over {2.{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {{2\sqrt {21} } \over 3}.$

b) 

$\eqalign{ & 2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \cr & \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM} + 3(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} ) = \overrightarrow 0 \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {AC} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \cr}$

và $\eqalign{ & \overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + x(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AN} ) = \overrightarrow 0 \cr}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AN}  = {1 \over {x + 1}}(\overrightarrow {AB}  + x\overrightarrow {AC} ).$

AN vuông góc với BM: $\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM}  = 0$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right)(3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = 0 \cr & \Leftrightarrow (3 - x)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} + 3xA{C^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {3 - x} \right).12 - 16 + 3x.36 = 0 \cr & \Leftrightarrow 96x + 20 = 0 \cr & \Leftrightarrow x = - {5 \over {24}} \cr}$