Bài 3.25 trang 152 Sách bài tập Toán Hình học 10: Cho đường tròn (C)...

Cho đường tròn (C) : ${(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 9$ và điểm M(2;-1).

a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ với (C), hãy viết phương trình của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$.

b) Gọi ${M_1}$ và ${M_2}$ lần lượt là hai tiếp điểm của  ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ với (C) , hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua ${M_1}$ và ${M_2}$

Gợi ý làm bài

a) (C) có tâm I(-1;2) và có bán kính R = 3. Đường thẳng  đi qua M(2;-1) và có hệ số góc k có phương trình: 

$y + 1 = k\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow kx - y - 2k - 1 = 0$

Ta có: $\Delta$ tiếp xúc với (C)  $\Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R$

$\Leftrightarrow {{\left| { - k - 2 - 2k - 1} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 3$

$\Leftrightarrow \left| {k + 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1}$

$\Leftrightarrow {k^2} + 2k + 1 = {k^2} + 1$

$\Leftrightarrow k = 0.$

Vậy ta được tiếp tuyến ${\Delta _1}:y + 1 = 0.$

Xét đường thẳng ${\Delta _2}$ đo qua M(2;-1) và vuông góc với Ox, ${\Delta _2}$ có phương trình x - 2 = 0. Ta có:

$d\left( {I;{\Delta _2}} \right) = \left| { - 1 - 2} \right| = 3 = R$

Suy ra ${\Delta _2}$ tiếp xúc với (C) . 

Vậy qua điểm M ta vẽ được hai tiếp tuyến với  (C), đó là: 

${\Delta _1}:y + 1 = 0$ và ${\Delta _2}:x - 2 = 0$

b) ${\Delta _1}$ tiếp xúc với (C)  tại ${M_1}\left( { - 1; - 1} \right)$

${\Delta _2}$ tiếp xúc với (C)  tại ${M_2}\left( {2;2} \right)$

Phương trình của đường thẳng d đi qua ${M_1}$ và ${M_2}$ là: x - y = 0.