Bài 3.27 trang 152 Sách BT Toán Hình học 10: Cho hai đường tròn (C1)...

Cho hai đường tròn (C1) : ${x^2} + {y^2} - 6x + 5 = 0$

và     (C2) : ${x^2} + {y^2} - 12x - 6y + 44 = 0$

a) Tìm câm và bán kính của (C 1)  và (C 2)  .

b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C 1)  và (C 2). 

Gợi ý làm bài

a) (C 1) có tâm có bán kính ${R_1} = 2$;

    (C 2) có tâm có bán kính ${R_2} = 1$.

b) Xét đường thẳng $\Delta$ có phương trình:

$y = kx + m$ hay $kx - y + m = 0$. Ta có:

$\Delta$ tiếp xúc vơi (C 1)  và (C 2) khi và chỉ khi

$\left\{ \matrix{ d({I_1},\Delta ) = {R_1} \hfill \cr d({I_2},\Delta ) = {R_2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {{\left| {3k + m} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2(1) \hfill \cr {{\left| {6k - 3 + m} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1.(2) \hfill \cr} \right.$

Từ (1) và (2) suy ra

$\left| {3k + m} \right| = 2\left| {6k - 3 + m} \right|$

Trường hợp 1: $3k + m = 2(6k - 3 + m) \Leftrightarrow m = 6 - 9k$ (3)

Thay vào (2) ta được

$\left| {6k - 3 + 6 - 9k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {3 - 3k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1}$

$\Leftrightarrow 9 - 18k + 9{k^2} = {k^2} + 1$

$\Leftrightarrow 8{k^2} - 18k + 8 = 0$

$\Leftrightarrow 4{k^2} - 9k + 4 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ {k_1} = {{9 + \sqrt {17} } \over 8} \hfill \cr {k_2} = {{9 - \sqrt {17} } \over 8} \hfill \cr} \right.$

Thay giá trị của k vào (3) ta tính được

$\left[ \matrix{ {k_1} = 6 - 9{k_1} \hfill \cr {k_2} = 6 - 9{k_2} \hfill \cr} \right.$

Vậy ta được hai tiếp tuyến

${\Delta _1}:y = {k_1}x + 6 - 9{k_1};$

${\Delta _2}:y = {k_2}x + 6 - 9{k_2}.$

Trường hợp 2: 

$\eqalign{ & 3k + m = - 2(6k - 3 + m) \cr & \Leftrightarrow 3m = 6 - 15k \cr}$

$\Leftrightarrow m = 2 - 5k$ (4)

Thay vào (2) ta được

$\left| {6k - 3 + 2 - 5k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {k - 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1}$

$\Leftrightarrow {(k - 1)^2} = {k^2} + 1$

$\Leftrightarrow {k^2} - 2k + 1 = {k^2} + 1$

$\Leftrightarrow k = 0.$

Thay giá trị của k vào (4) ta được m = 2.

Vậy ta được tiếp tuyến

${\Delta _3}:y = 2.$

Xét đường thẳng ${\Delta _4}$ vuông góc với Ox tại ${x_0}$:

${\Delta _4}:x - {x_0} = 0.$

${\Delta _4}$ tiếp xúc vơi (C 1)  và (C 2) khi và chỉ khi

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ d({I_1},{\Delta _4}) = {R_1} \hfill \cr d({I_2},{\Delta _4}) = {R_2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left| {3 - {x_0}} \right| = 2 \hfill \cr \left| {6 - {x_0}} \right| = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} = 1 \vee {x_0} = 5 \hfill \cr {x_0} = 5 \vee {x_0} = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 5. \cr}$

Vậy ta được tiếp tuyến: ${\Delta _4}:x - 5 = 0$

Tóm lại hai đường tròn (C 1)  và (C 2) có bốn tiếp tuyến chung ${\Delta _1}$, ${\Delta _2}$, ${\Delta _3}$ và ${\Delta _4}$