Advertisements (Quảng cáo)
Cho hai đường tròn (C1) : \({x^2} + {y^2} – 6x + 5 = 0\)
và (C2) : \({x^2} + {y^2} – 12x – 6y + 44 = 0\)
a) Tìm câm và bán kính của (C 1) và (C 2) .
b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C 1) và (C 2).
Gợi ý làm bài
a) (C 1) có tâm có bán kính \({R_1} = 2\);
(C 2) có tâm có bán kính \({R_2} = 1\).
b) Xét đường thẳng \(\Delta \) có phương trình:
\(y = kx + m\) hay \(kx – y + m = 0\). Ta có:
\(\Delta\) tiếp xúc vơi (C 1) và (C 2) khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{
d({I_1},\Delta ) = {R_1} \hfill \cr
d({I_2},\Delta ) = {R_2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{\left| {3k + m} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2(1) \hfill \cr
{{\left| {6k – 3 + m} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1.(2) \hfill \cr} \right.\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\left| {3k + m} \right| = 2\left| {6k – 3 + m} \right|\)
Trường hợp 1: \(3k + m = 2(6k – 3 + m) \Leftrightarrow m = 6 – 9k\) (3)
Thay vào (2) ta được
\(\left| {6k – 3 + 6 – 9k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {3 – 3k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)
\( \Leftrightarrow 9 – 18k + 9{k^2} = {k^2} + 1\)
\( \Leftrightarrow 8{k^2} – 18k + 8 = 0\)
\(\Leftrightarrow 4{k^2} – 9k + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{k_1} = {{9 + \sqrt {17} } \over 8} \hfill \cr
{k_2} = {{9 – \sqrt {17} } \over 8} \hfill \cr} \right.\)
Thay giá trị của k vào (3) ta tính được
\(\left[ \matrix{
{k_1} = 6 – 9{k_1} \hfill \cr
{k_2} = 6 – 9{k_2} \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy ta được hai tiếp tuyến
\({\Delta _1}:y = {k_1}x + 6 – 9{k_1};\)
\({\Delta _2}:y = {k_2}x + 6 – 9{k_2}.\)
Trường hợp 2:
\(\eqalign{
& 3k + m = – 2(6k – 3 + m) \cr
& \Leftrightarrow 3m = 6 – 15k \cr} \)
\( \Leftrightarrow m = 2 – 5k\) (4)
Thay vào (2) ta được
\(\left| {6k – 3 + 2 – 5k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {k – 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)
\( \Leftrightarrow {(k – 1)^2} = {k^2} + 1\)
\(\Leftrightarrow {k^2} – 2k + 1 = {k^2} + 1\)
\( \Leftrightarrow k = 0.\)
Thay giá trị của k vào (4) ta được m = 2.
Vậy ta được tiếp tuyến
\({\Delta _3}:y = 2.\)
Xét đường thẳng \({\Delta _4}\) vuông góc với Ox tại \({x_0}\):
\({\Delta _4}:x – {x_0} = 0.\)
\({\Delta _4}\) tiếp xúc vơi (C 1) và (C 2) khi và chỉ khi
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
d({I_1},{\Delta _4}) = {R_1} \hfill \cr
d({I_2},{\Delta _4}) = {R_2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left| {3 – {x_0}} \right| = 2 \hfill \cr
\left| {6 – {x_0}} \right| = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_0} = 1 \vee {x_0} = 5 \hfill \cr
{x_0} = 5 \vee {x_0} = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 5. \cr} \)
Vậy ta được tiếp tuyến: \({\Delta _4}:x – 5 = 0\)
Tóm lại hai đường tròn (C 1) và (C 2) có bốn tiếp tuyến chung \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\), \({\Delta _3}\) và \({\Delta _4}\)