Bài 3.26 trang 152 SBT Toán Hình học 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) có phương trình...

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) có phương trình ${x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0$ biết rằng tiếp tuyến đó đi qua gốc tọa độ O.

Gợi ý làm bài

Đường tròn (C) :${x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0$ có tâm I(4;3) và bán kính R = 5. 

Cách 1: xét đường thẳng $\Delta$ đi qua gốc tọa độ O và có hệ số góc k, $\Delta$ có phương trình y - kx = 0

Ta có: $\Delta$ tiếp xúc với (C)  $\Leftrightarrow d(I,\Delta ) = R$

$\Leftrightarrow {{\left| {3 - 4k} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 5$

$\Leftrightarrow {\left( {3 - 4k} \right)^2} = 25({k^2} + 1)$

$\Leftrightarrow 9 + 16{k^2} - 24k = 25{k^2} + 25$

$\Leftrightarrow 9{k^2} + 24k + 16 = 0$

$\Leftrightarrow k =  - {4 \over 3}.$

Vậy ta được phương trình tiếp tuyến là: $y + {4 \over 3}x = 0$ hay 4x + 3y = 0

Cách 2: Do tọa độ O(0;0) thỏa mãn phương trình của (C) nên điểm O nằm trên (C). Tiếp tuyến với (C) tại O có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \overrightarrow {OI}  = (4;3)$

Suy ra $\Delta$ có phương trình

4x + 3y = 0.