Bài 3.33 trang 160 Sách bài tập Toán Hình Học 10 Viết phương trình chính tắc của elip (E)...

Viết phương trình chính tắc của elip (E) ${F_1}$ và ${F_2}$ biết:

a) (E) đi qua hai điểm $M\left( {4;{9 \over 5}} \right)$ và $N\left( {3;{{12} \over 5}} \right)$;

b) (E) đi qua $M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right)$ và tam giác $M{F_1}{F_2}$ vuông tại M. 

Gợi ý làm bài

a) Xét elip (E): ${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$

(E) đi qua $M\left( {4;{9 \over 5}} \right)$ và $N\left( {3;{{12} \over 5}} \right)$ nên thay tọa độ của M và N vào phương trình của (E) ta được:

$\left\{ \matrix{ {{16} \over {{a^2}}} + {{81} \over {25{b^2}}} = 1 \hfill \cr {9 \over {{a^2}}} + {{144} \over {25{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = 25 \hfill \cr {b^2} = 9. \hfill \cr} \right.$

Vậy phương trình của (E) là : ${{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1$

b) xét elip (E) : ${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$

Vì $M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right) \in (E)$ nên ${9 \over {5{a^2}}} + {{16} \over {5{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,(1)$

Ta có : $\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow OM = O{F_1}$

$\Rightarrow {c^2} = O{M^2} = {9 \over 5} + {{16} \over 5} = 5$

và: ${a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 5$

Thay vào (1) ta được : 

$\eqalign{ & {9 \over {5\left( {{b^2} + 5} \right)}} + {{16} \over {5{b^2}}} = 1 \cr & \Leftrightarrow 9{b^2} + 16\left( {{b^2} + 5} \right) = 5{b^2}({b^2} + 5) \cr}$

$\Leftrightarrow {b^4} = 14$

$\Leftrightarrow {b^2} = 4$

Suy ra ${a^2} = 9$

Vậy phương trình chính tắc của (E) là 

${{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1$