Bài 3.34 trang 160 Sách bài tập Toán Hình Học 10: Cho elip (E)...

Cho elip (E) : $9{x^2} + 25{y^2} = 225$

a) Tìm tọa độ hai điểm ${F_1}$, ${F_2}$ và các đỉnh của (E).

b) Tìm $M \in (E)$ sao cho M nhìn ${F_1}$, ${F_2}$ dưới một góc vuông.

Gợi ý làm bài

(E): $9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1$

a) Ta có : ${a^2} = 25,{b^2} = 9$

$\Rightarrow a = 5,b = 3$

Ta có : ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 16$

$\Rightarrow c = 4$

Vậy (E) có hai tiêu điểm là : ${F_1}\left( { - 4;0} \right)$ và ${F_2}\left( {4;0} \right)$ và có bốn đỉnh là ${A_1}\left( { - 5;0} \right)$, ${A_2}\left( {5;0} \right)$, ${B_1}\left( {0; - 3} \right)$, ${B_2}\left( {0;3} \right)$.

b) Gọi M(x;y) là điểm cần tìm, ta có : 

$\left\{ \matrix{ M \in (E) \hfill \cr \widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ M \in (E) \hfill \cr O{M^2} = {c^2} \hfill \cr} \right.\left\{ \matrix{ 9{x^2} + 25{y^2} = 225 \hfill \cr {x^2} + {y^2} = 16 \hfill \cr} \right.$

$\left\{ \matrix{ {x^2} = {{175} \over {16}} \hfill \cr {y^2} = {{81} \over {16}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \pm {{5\sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr y = \pm {9 \over 4}. \hfill \cr} \right.$

Vậy có bốn điểm M thỏa mãn điều kiện của đề bài là : 

$\left( {{{5\sqrt 7 } \over 4};{9 \over 4}} \right)$, $\left( {{{5\sqrt 7 } \over 4}; - {9 \over 4}} \right)$, $\left( { - {{5\sqrt 7 } \over 4};{9 \over 4}} \right)$, $\left( { - {{5\sqrt 7 } \over 4}; - {9 \over 4}} \right)$