Bài 3.35 trang 160 SBT Toán Hình Học 10 Cho elip (E)...

Cho elip (E): ${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\left( {0 < b < a} \right)$. Tính tỉ số: ${c \over a}$ trong các trường hợp sau:

a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ;

b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiểu điểm dưới một góc vuông ;

c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.

Gợi ý làm bài

a) Ta có : $a = 3b \Rightarrow {a^2} = 9{b^2}$

$\Rightarrow {a^2} = 9\left( {{a^2} - {c^2}} \right)$

$\Rightarrow 9{c^2} = 8{a^2}$

$\Rightarrow 3c = 2\sqrt 2 a$

Vậy ${c \over a} = {{2\sqrt 2 } \over 3}$

b) $\widehat {{F_1}{B_1}{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow O{B_1} = {{{F_1}{F_2}} \over 2}$

$\Rightarrow b = c$

$\Rightarrow {b^2} = {c^2}$

$\Rightarrow {a^2} - {c^2} = {c^2}$

$\Rightarrow {a^2} = 2{c^2}$

$\Rightarrow a = c\sqrt 2$

Vậy ${c \over a} = {1 \over {\sqrt 2 }}$

c) ${A_1}{B_1} = 2c \Rightarrow {A_1}B_1^2 = 4{c^2}$

$\Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4{c^2}$

$\Rightarrow {a^2} + {a^2} - {c^2} = 4{c^2}$

$\Rightarrow 2{a^2} = 5{c^2}$

$\Rightarrow \sqrt 2 a = \sqrt 5 c$

Vậy ${c \over a} = \sqrt {{2 \over 5}}$