Cho elip (E) : \(4{x^2} + 9{y^2} = 36\) và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.
Gợi ý làm bài
(E): \(4{x^2} + 9{y^2} = 36\,(1)\)
Xét đường thẳng d đi qua điểm M(1;1) và có hệ số góc k. Ta có phương trình của
d:y - 1 = k(x - 1) hay y = k(x - 1) + 1 (2)
Thay (2) vào (1) ta được
\(4x + 9{\left[ {k(x - 1) + 1} \right]^2} = 36\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Leftrightarrow \left( {9{k^2} + 4} \right){x^2} + 18k\left( {1 - k} \right)x + 9{\left( {1 - k} \right)^2} - 36 = 0\,(3)\)
Ta có : d cắt (E) tại hai điểm A, B thỏa mãn
MA = MB khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm \({x_A}\), \({x_B}\) sao cho:
\({{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {x_M} \Leftrightarrow {{ - 18k(1 - k)} \over {2(9{k^2} + 4)}} = 1\)
\( \Leftrightarrow 18{k^2} - 18k = 18{k^2} + 8 \Leftrightarrow k = - {4 \over 9}\)
Vậy phương trình của d là :
\(y = - {4 \over 9}\left( {x - 1} \right) + 1\) hay 4x + 9y - 13 = 0.