Bài 3.65 trang 164 SBT Toán Hình Học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)  : ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4$ và đường thẳng  d: x - y - 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C ’) đối xứng vơi đường tròng (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C ’) và (C).

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.23)

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right).$ Do đó đường thẳng $\Delta$ đi qua tâm $I\left( {1;2} \right)$ và vuông góc với d có phương trình :

${{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over { - 1}} \Leftrightarrow x + y - 3 = 0.$

Tọa độ giao điểm H của d và  là nghiệm của hệ phương trình :

$\left\{ \matrix{ x - y - 1 = 0 \hfill \cr x + y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H\left( {2;1} \right)$

Gọi J là điểm đối xứng của I qua d. Khi đó : 

$\left\{ \matrix{ {x_J} = 2{x_H} - {x_I} = 3 \hfill \cr {y_J} = 2{y_H} - {y_I} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow J(3;0).$

Vì (C ’) đối xứng với (C ) qua d nên (C ’) có tâm là $J\left( {3;0} \right)$ và bán kính R = 2. 

Do đó (C ’) có phương trình là : 

${\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4$

Tọa độ các giao điểm của (C ) và (C ’) là nghiệm của hệ phương trình :

$\left\{ \matrix{ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4 \hfill \cr {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - y - 1 = 0 \hfill \cr {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = x - 1 \hfill \cr 2{x^2} - 8x + 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1,y = 0 \hfill \cr x = 3,y = 2. \hfill \cr} \right.$

Vậy tọa độ giao điểm của (C ) và (C ’) là A(1 ; 0) và B(3 ; 2).