Bài 3.67 trang 164 SBT Toán Hình Học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tam giác ABC vuông tại...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là :  $\sqrt 3 x - y - \sqrt 3  = 0$, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Gợi ý làm bài

( Xem hình 3.25)

Ta có: $BC \cap Ox = B(1;0)$

Đặt ${x_A} = a$ ta có A(a;0) và ${x_C} = a \Rightarrow {y_C} = \sqrt 3 a - \sqrt 3 .$

Vậy $C\left( {a;\sqrt 3 a - \sqrt 3 } \right).$

Từ công thức

$\left\{ \matrix{ {x_G} = {1 \over 3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C}} \right) \hfill \cr {y_G} = {1 \over 3}\left( {{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right) \hfill \cr} \right.$

Ta có:

$G\left( {{{2a + 1} \over 3};{{\sqrt 3 \left( {a - 1} \right)} \over 3}} \right).$

Mà $AB = \left| {a - 1} \right|,AC = \sqrt 3 \left| {a - 1} \right|,BC = 2\left| {a - 1} \right|$. Do đó : 

${S_{\Delta ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {{\sqrt 3 } \over 2}{\left( {a - 1} \right)^2}.$

Ta có:

$\eqalign{ & r = {{2S} \over {AB + AC + BC}} \cr & = {{\sqrt 3 {{\left( {a - 1} \right)}^2}} \over {3\left| {a - 1} \right| + \sqrt 3 \left| {a - 1} \right|}} = {{\left| {a - 1} \right|} \over {\sqrt 3 + 1}} = 2. \cr}$

Vậy $\left| {a - 1} \right| = 2\sqrt 3  + 2.$

Trường hợp 1. 

${a_1} = 2\sqrt 3  + 3 \Rightarrow {G_1}\left( {{{7 + 4\sqrt 3 } \over 3};{{6 + 2\sqrt 3 } \over 3}} \right).$

Trường hợp 2. 

${a_2} =  - 2\sqrt 3  - 1 \Rightarrow {G_2}\left( {{{4\sqrt 3  - 1} \over 3};{{ - 6 - 2\sqrt 3 } \over 3}} \right).$