Bài 3.68 trang 164 Sách bài tập Toán Hình Học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm C(2;0) và elip (E)...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm C(2;0) và elip (E): ${{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1$. Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

Gợi ý làm bài

Giả sử $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên $B({x_0}; - {y_0})$

Ta có : $A{B^2} = 4y_0^2$ và $A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2.$

Vì $A \in (E)$ nên ${{x_0^2} \over 4} + y_0^2 = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - {{x_0^2} \over 4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Vì AB = AC nên ${\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

Thay (1) vào (2) và rút gọn ta được 

$7x_0^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x_0} = 2 \hfill \cr {x_0} = {2 \over 7}. \hfill \cr} \right.$

Với ${x_0} = 2$ thay vào (1) ta có ${y_0} = 0.$ Trường hợp này loại vì $A \equiv C.$

Với ${x_0} = {2 \over 7}$ thay vào (1) ta có ${y_0} =  \pm {{4\sqrt 3 } \over 7}.$

Vậy $A\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),B\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)$ hoặc $A\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),B\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)$