Bài 5 trang 197 Sách bài tập Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (T) có phương...

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (T) có phương trình:

${x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 3 = 0$

a) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (T).

b) Tìm m để đường thẳng y = x + m có điểm chung với đường tròn (T).

c) Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ với đường tròn (T) biết rằng $\Delta$ vuông góc vơi đường thẳng d có phương trình \x - y + 2006 = 0.

Gợi ý làm bài

a) Đường tròn (T) có tâm là điểm (2 ; 1) và có bán kính bằng $\sqrt 2$

b) Đường thẳng $l:x - y + m = 0$. Ta có : 

$l$ có điểm chung với (T)

$\Leftrightarrow d(I,l) \le R$

$\Leftrightarrow {{\left| {2 - 1 + m} \right|} \over {\sqrt 2 }} \le \sqrt 2$

$\eqalign{ & \left| {m + 1} \right| \le 2 \Leftrightarrow - 2 \le m + 1 \le 2 \cr & \Leftrightarrow - 3 \le m \le 1. \cr}$

c) $\Delta  \bot d$ nên $\Delta$ có phương trình x + y + c = 0.

Ta có : $\Delta$ tiếp xúc với (T) khi và chỉ khi:

$d(I,\Delta ) = R$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left| {2 + 1 + c} \right|} \over {\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {c + 3} \right| = 2 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ c + 3 = 2 \hfill \cr c + 3 = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ c = - 1 \hfill \cr c = - 5 \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy có hai tiếp tuyến với (T) thỏa mãn đề bài là : 

${\Delta _1}:x + y - 1 = 0$

${\Delta _2}:x + y - 5 = 0.$