Bài 5 trang 30 SBT môn Toán Đại số 10: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương...

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng

a) $y =  - 2x + 3$ trên R

b) $y = {x^2} + 10x + 9$ trên $( - 5; + \infty )$

c) $y =  - {1 \over {x + 1}}$ trên (-3; -2) và (2; 3).

Gợi ý làm bài

a) $\forall {x_1},{x_2} \in R$ ta có:

$f({x_1}) - f({x_2}) =  - 2{x_1} + 3 - ( - 2{x_2} + 3) =  - 2({x_1} - {x_2})$

Ta thấy ${x_1} > {x_2}$ thì $2({x_1} - {x_2}) < 0$ tức là:

$f({x_1}) - f({x_2}) < 0 \Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2})$

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên R.

b) $\forall {x_1},{x_2} \in R$, ta có

$f({x_1}) - f({x_2}) = x_1^2 + 10{x_1} + 9 - x_2^2 - 10{x_2} - 9$

= $({x_1} - {x_2})({x_1} + {x_2}) + 10({x_1} - {x_2})$

= $({x_1} - {x_2})({x_1} + {x_2} + 10)$ (*)

$\forall {x_1},{x_2} \in ( - 5; + \infty )$ và ${x_1} < {x_2}$ ta có ${x_1} - {x_2} < 0$ và ${x_1} + {x_2} + 10 > 0$ vì 

${x_1} >  - 5;{x_2} >  - 5 =  > {x_1} + {x_2} >  - 10$

Vậy từ (*) suy ra $f({x_1}) - f({x_2}) < 0 \Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2})$

Hàm số đồng biến trên khoảng $( - 5; + \infty )$

c) $\forall {x_1},{x_2} \in ( - 3; - 2)$ và ${x_1} < {x_2}$, ta có

${x_1} - {x_2} < 0;{x_1} + 1 <  - 2 + 1 < 0;{x_2} + 1 <  - 2 + 1 < 0 =  > ({x_1} + 1)({x_2} + 1) > 0$. Vậy

$f({x_1}) - f({x_2}) =  - {1 \over {{x_1} + 1}} + {1 \over {{x_2} + 1}} = {{{x_1} - {x_2}} \over {({x_1} + 1)({x_2} + 1)}} < 0 \Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2})$

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-3; -2) 

$\forall {x_1},{x_2} \in ( - 3; - 2)$ và ${x_1} < {x_2}$ , tương tự ta cũng có $f({x_1}) < f({x_2})$

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (2;3).