Bài 63 trang 124 SBT Toán Đại số 10: Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện...

Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện ${a^3} > 36$ và abc = 1

Xét tam thức bậc hai $f(x) = {x^2} - {\rm{a}}x - 3ac + {{{a^2}} \over 3}$

a) Chứng minh rằng $f(x) > 0,\forall x$;

b) Từ câu a) suy ra ${{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca.$

Gợi ý làm bài

a) f(x) có

$\eqalign{ & \Delta = {a^2} - 4( - 3bc + {{{a^2}} \over 3}) = {{ - {a^2}} \over 3} + 12bc \cr & = {{ - {a^2}} \over 3} + {{12abc} \over a} = {{ - {a^2}} \over 3} + {{12} \over a} \cr}$

$= {{36 - {a^3}} \over {3a}} < 0$ (do giả thiết ${a^3} > 36$)

=> $f(x) > 0,\forall x$

b) ${{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca$

$\Leftrightarrow {{{a^2}} \over 3} + {(b + c)^2} - 2bc > bc + a(b + c)$

$\Leftrightarrow {(b + c)^2} - a(b + c) - 3bc + {{{a^2}} \over 3} > 0$

$\Leftrightarrow f(b + c) > 0$ đúng vì $f(x) > 0,\forall x.$