Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện \({a^3} > 36\) và abc = 1
Xét tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - {\rm{a}}x - 3ac + {{{a^2}} \over 3}\)
a) Chứng minh rằng \(f(x) > 0,\forall x\);
b) Từ câu a) suy ra \({{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca.\)
Gợi ý làm bài
a) f(x) có
\(\eqalign{
& \Delta = {a^2} - 4( - 3bc + {{{a^2}} \over 3}) = {{ - {a^2}} \over 3} + 12bc \cr
& = {{ - {a^2}} \over 3} + {{12abc} \over a} = {{ - {a^2}} \over 3} + {{12} \over a} \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
\( = {{36 - {a^3}} \over {3a}} < 0\) (do giả thiết \({a^3} > 36\))
=> \(f(x) > 0,\forall x\)
b) \({{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca\)
\( \Leftrightarrow {{{a^2}} \over 3} + {(b + c)^2} - 2bc > bc + a(b + c)\)
\( \Leftrightarrow {(b + c)^2} - a(b + c) - 3bc + {{{a^2}} \over 3} > 0\)
\( \Leftrightarrow f(b + c) > 0\) đúng vì \(f(x) > 0,\forall x.\)