Bài 66 trang 125 SBT Toán Đại số 10: Tìm a và b (b > -1) để hai bất phương trình sau tương...

Tìm a và b (b > -1) để hai bất phương trình sau tương đương

$(x - a + b)(x + 2a - b - 1) \le 0$ (1) 

Và $\left| {x + a - 2} \right| \le b + 1.$ (2)

Gợi ý làm bài

(1) $\Leftrightarrow x \in {\rm{[}}\alpha ;\beta {\rm{]}}$, trong đó

$\left\{ \matrix{ \alpha = a - b \hfill \cr \beta = - 2a + b + 1 \hfill \cr} \right.$

hoặc

$\left\{ \matrix{ \alpha = - 2a + b + 1 \hfill \cr \beta = a - b. \hfill \cr} \right.$

(2) $\Leftrightarrow  - (b + 1) \le x + a - 2 \le b + 1$

$\Leftrightarrow  - b - a + 1 \le x \le  - a + b + 3$

$\Leftrightarrow x \in {\rm{[}} - b - a + 1; - a + b + 3]$

(1) và (2) tương đương khi và chỉ khi ${\rm{[}}\alpha ;\beta {\rm{]}} = {\rm{[}} - b - a + 1; - a + b + 3]$, tức là:

$\left\{ \matrix{ \alpha = - b - a + 1 \hfill \cr \beta = - a + b + 3 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow (3)\left\{ \matrix{ a - b = - b - a + 1 \hfill \cr - 2a + b + 1 = - a + b + 3 \hfill \cr} \right.$

hoặc

$\left\{ \matrix{ - 2a + b + 1 = - b - a + 1 \hfill \cr a - b = - a + b + 3 \hfill \cr} \right.$

Hệ phương trình (3) vô nghiệm. Hệ phương trình (4) có nghiệm duy nhất $a = 3,b = {3 \over 2}$

Đáp số: $a = 3,b = {3 \over 2}$.