Bài 8 trang 197 SBT Toán Hình học 10: Cho đường tròn (C) tâm I...

Cho đường tròn (C) tâm I(1 ; -2), bán kính R và điểm K(1 ; 3).

a) Cho R = 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua K;

b) Xác định R để từ K vẽ được đến (C) hai tiếp tuyến tiếp xúc với (C) lần lượt tại hai điểm ${M_1},{M_2}$ sao cho diện tích tứ giác $K{M_1}I{M_2}$ bằng $2\sqrt 6$.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.31)

a) R = 1. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm K(1 ; 3) và có hệ số góc m. $\Delta$ có phương trình y = m(x - 1) + 3

$\Leftrightarrow mx - y + (3 - m) = 0.$

Ta có $\Delta$ tiếp xúc vơi (C) \( \Leftrightarrow d(I,\Delta ) = R\)

$\Leftrightarrow {{\left| {m + 2 + 3 - m} \right|} \over {\sqrt {{m^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow {5 \over {\sqrt {{m^2} + 1} }} = 1$

$\Leftrightarrow {m^2} + 1 = 25$

$\Leftrightarrow m =  \pm 2\sqrt 6$

Vậy qua điểm K có hai tiếp tuyến với (C). Đó là : 

${\Delta _1}:y = 2\sqrt 6 \left( {x - 1} \right) + 3$ và ${\Delta _2}:y =  - 2\sqrt 6 \left( {x - 1} \right) + 3.$

b) Ta có: $KI = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 2} \right)}^2}}  = 5$

$K{M_2} = \sqrt {K{I^2} - {R^2}}  = \sqrt {25 - {R^2}} .$

Ta có : ${S_{K{M_1}I{M_2}}} = 2\sqrt 6$

$\Leftrightarrow 2{S_{I{M_2}K}} = 2\sqrt 6$

$\Leftrightarrow I{M_2}.K{M_2} = 2\sqrt 6$

$\Leftrightarrow R\sqrt {25 - {R^2}}  = 2\sqrt 6$

$\Leftrightarrow {R^2}\left( {25 - {R^2}} \right) = 24$

$\Leftrightarrow {R^4} - 25{R^2} + 24 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ {R^2} = 1 \hfill \cr {R^2} = 24 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ R = 1 \hfill \cr R = 2\sqrt 6 \hfill \cr} \right.$

Vậy bán kính đường tròn bằng 1 hoặc $2\sqrt 6 .$