Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \({(x - 5)^2} + {(y - 3)^2} = 4\). Và điểm A(1 ; 2), một đường thẳng d đi qua A và cắt đường tròn (C) theo một dây cung MN có độ dài bằng \(2\sqrt 3 \). Viết phương trình của d.
Gợi ý làm bài
(Xem hình 3.32)
Đường tròn (C) có tâm I(5 ; 3) và có bán kính R = 2.
Gọi H là trung điểm của MN. Ta có
\(IH \bot MN\) và \(MH = {{MN} \over 2} = \sqrt 3 \)
\(IH = \sqrt {I{M^2} - M{H^2}} = \sqrt {4 - 3} = 1.\)
Phương trình đường thẳng d có dạng :
Advertisements (Quảng cáo)
\(y - 2 = k(x - 1) \Leftrightarrow kx - y + 2 - k = 0.\)
Ta có IH = 1
\( \Leftrightarrow {{\left| {5k - 3 + 2 - k} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left| {4k - 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {4k - 1} \right)^2} = {k^2} + 1 \cr} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 15{k^2} - 8k = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
k = 0 \hfill \cr
k = {8 \over {15}} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy có hai điểm d thỏa mãn đề bài.
Đó là \({d_1}:y - 2 = 0\)
\(\eqalign{
& {d_2}:y - 2 = {8 \over {15}}\left( {x - 1} \right) \cr
& \Leftrightarrow 8x - 15y + 22 = 0. \cr} \)