Bài 4 trang 72 Toán 10 tập 2 – Cánh diều: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;4), B(-1;1), C(-8; 2)....

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;4), B(-1;1), C(-8; 2).

a) Tính số đo góc ABC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

b) Tính chu vi của tam giác ABC.

c) Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM.

a) Với hai vectơ $\overrightarrow u  = \left( {{x_1},{y_1}} \right)$, $\overrightarrow v  = \left( {{x_2},{y_2}} \right)$đều khác vectơ không, ta có:

- $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi ${x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} = 0$

- $\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{{x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2} }}$

b) Chu vi tam giác bằng tổng độ dài 3 cạnh

c) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là: $M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)$ 

a) Ta có: $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 7;1} \right),\overrightarrow {BA}  = \left( {3;3} \right)$

$\cos \widehat {ABC} = \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \frac{{\left( { - 7} \right).3 + 1.3}}{{\sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2}} }} =  - \frac{3}{5} \Rightarrow \widehat {ABC} \approx {126^o}$

b) Ta có: $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 7;1} \right),\overrightarrow {BA}  = \left( {3;3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 10; - 2} \right)$

Suy ra: $\begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 \\AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {104} \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt {50} \end{array}$

Vậy chu vi tam giác ABC là: ${P_{ABC}} = 2\sqrt {26}  + 8\sqrt 2$

c) Để diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM thì M phải là trung điểm BC.

Vậy tọa độ điểm M là: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{ - 9}}{2}\\\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{3}{2}\end{array} \right.$. Vậy $M\left( {\frac{{ - 9}}{2};\frac{3}{2}} \right)$