Bài 10 trang 71 Hình học 10 Nâng cao: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng...

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

a)$\cot A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {4S}}$ ( S là diện tích tam giác ABC) ;

b) $\cot A + \cot B + \cot C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}}$.

a)  Ta có

$\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}\,\,;\,\,\,\,S = {1 \over 2}bc.\sin A \cr & \Rightarrow \,\,\cot A = {{\cos A} \over {\sin A}} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc.\sin A}} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {4S}} \cr}$

b) Tương tự câu a), ta có

$\eqalign{ & \,\,\cot B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {4S}}\,\,;\,\,\,\,\cot C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {4S}} \cr & \Rightarrow \,\,\cot A + \cot B + \cot C\cr& = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {4S}} + {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {4S}} + {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {4S}} \cr &  = \,{{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}} \cr}$