Advertisements (Quảng cáo)
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
a)\(\cot A = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over {4S}}\) ( S là diện tích tam giác ABC) ;
b) \(\cot A + \cot B + \cot C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}}\).
a) Ta có
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\cos A = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over {2bc}}\,\,;\,\,\,\,S = {1 \over 2}bc.\sin A \cr
& \Rightarrow \,\,\cot A = {{\cos A} \over {\sin A}} = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over {2bc.\sin A}} = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over {4S}} \cr} \)
b) Tương tự câu a), ta có
\(\eqalign{
& \,\,\cot B = {{{a^2} + {c^2} – {b^2}} \over {4S}}\,\,;\,\,\,\,\cot C = {{{a^2} + {b^2} – {c^2}} \over {4S}} \cr
& \Rightarrow \,\,\cot A + \cot B + \cot C\cr& = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over {4S}} + {{{a^2} + {c^2} – {b^2}} \over {4S}} + {{{a^2} + {b^2} – {c^2}} \over {4S}} \cr
& = \,{{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}} \cr} \)