Bài 12 trang 71 Hình học 10 Nâng cao: Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và vuông góc với nhau....

Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và vuông góc với nhau.

a) Chứng minh rằng $A{B^2} + C{D^2}$ không đổi.

b) Chứng minh rằng $P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.

a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Ta có $OI \bot AB\,\,;\,\,OJ \bot CD$

Suy ra OIPJ là hình chữ nhật. Ta có

$\eqalign{ & A{B^2} + C{D^2} = 4(A{I^2} + C{J^2}) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4(O{A^2} - O{I^2} + C{O^2} - J{O^2}) \cr}$

                  $= 4(2{R^2} - O{P^2})$  ( không đổi do cố định).

b) Ta có

$\eqalign{ & P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2} \cr&= {(\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {PB} )^2} + {(\overrightarrow {PC} - \overrightarrow {PD} )^2} + 2.\overrightarrow {PA} .\,\overrightarrow {PB} + 2\overrightarrow {PC} .\,\overrightarrow {PD} \cr & = A{B^2} + C{D^2} + 4(P{O^2} - {R^2}) \cr & = 4(2{R^2} - O{P^2}) + 4(P{O^2} - {R^2}) \cr &  = 4{R^2} \cr}$

 Vậy  $P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}$  không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.