Bài 7 trang 70 Hình học 10 Nâng cao: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là...

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là

${b^2} + {c^2} = 5{a^2}$ 

Gọi G  là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN.

Áp dụng công thức tính trung tuyến ta có      

$\eqalign{ & G{B^2} = {4 \over 9}B{M^2} = {1 \over 9}(2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}) \cr & G{C^2} = {4 \over 9}C{N^2} = {1 \over 9}(2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}) \cr}$

Do đó $BM \bot CN\,\, \Leftrightarrow \,\,B{G^2} + C{G^2} = B{C^2}$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \,\,{1 \over 9}(2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}) + {1 \over 9}(2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}) = {a^2} \cr & \Leftrightarrow \,\,4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 9{a^2} \cr & \Leftrightarrow \,\,{b^2} + {c^2} = 5{a^2} \cr}$