Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là. Bài 7 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao - Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là
\({b^2} + {c^2} = 5{a^2}\)
Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN.
Advertisements (Quảng cáo)
Áp dụng công thức tính trung tuyến ta có
\(\eqalign{
& G{B^2} = {4 \over 9}B{M^2} = {1 \over 9}(2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}) \cr
& G{C^2} = {4 \over 9}C{N^2} = {1 \over 9}(2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}) \cr} \)
Do đó \(BM \bot CN\,\, \Leftrightarrow \,\,B{G^2} + C{G^2} = B{C^2}\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \,\,{1 \over 9}(2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}) + {1 \over 9}(2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}) = {a^2} \cr
& \Leftrightarrow \,\,4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 9{a^2} \cr
& \Leftrightarrow \,\,{b^2} + {c^2} = 5{a^2} \cr} \)