Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow e = (4\,;\,1)\) và \(\overrightarrow f = (1\,;\,4)\).
a) Tìm góc giữa các vec tơ \(\overrightarrow e \) và \(\overrightarrow f \).
b) Tìm m để vec tơ \(\overrightarrow a = \overrightarrow e + m\overrightarrow f \) vuông góc với trục hoành.
c) Tìm n để vec tơ \(\overrightarrow b = n\overrightarrow e + \overrightarrow f \) tạo với vec tơ \(\overrightarrow i + \overrightarrow j \) một góc \({45^0}\).
a) Góc giữa các vectơ \(\overrightarrow e \) và \(\overrightarrow f \)
\(\eqalign{
& \cos (\overrightarrow {e\,} \,\,\overrightarrow f ) = {{\overrightarrow {e\,} .\,\overrightarrow f } \over {|\overrightarrow {e\,} |.\,|\overrightarrow {f|} }} = {{4.1 + 1.4} \over {\sqrt {{4^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = {8 \over {17}} \cr
& \Rightarrow \,\,\,(\overrightarrow {e\,} \,\,\overrightarrow f ) \approx {61^0}{56′} \cr} \)
b) Ta có \(\overrightarrow a = \overrightarrow {e\,} + m\overrightarrow {f\,} = (4 + m\,;\,1 + 4m)\).
Advertisements (Quảng cáo)
\(\overrightarrow a = \overrightarrow e + m\overrightarrow f \) vuông góc với trục hoành \( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow i = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,4 + m = 0\,\, \Leftrightarrow m = - 4\) .
c) Ta có
\(\eqalign{
& \,\,\overrightarrow b = n\overrightarrow e + \overrightarrow f = (4n + 1\,;\,n + 4)\,;\,\,\overrightarrow i + \overrightarrow j = (1\,;\,1) \cr
& \,\,(\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = {45^0}\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\cos {45^0} = {{\overrightarrow b \,\,(\,\overrightarrow i + \overrightarrow j )} \over {|\overrightarrow b \,|.\,|\,\overrightarrow i + \overrightarrow j |}} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,{{\sqrt 2 } \over 2} = {{(4n + 1) + (n + 4)} \over {\sqrt {{{(4n + 1)}^2} + {{(n + 4)}^2}} .\,\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,{(4n + 1)^2} + {(n + 4)^2} = {(5n + 5)^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,8{n^2} + 34n + 8 = 0\,\, \Rightarrow \,\,n = {{ - 1} \over 4}\,;\,\,n = - 4. \cr} \)
Thử lại với \(n = - 4\) ta có \(\overrightarrow b = ( - 15\,;\,0)\).
\(\cos (\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = {{ - 15} \over {15.\sqrt 2 }} = - {1 \over {\sqrt 2 }}\) (loại)
Với \(n = {{ - 1} \over 4}\,\,;\,\,\overrightarrow b = \left( {0\,;\,{{15} \over 4}} \right)\)
\(\cos (\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = {1 \over {\sqrt 2 }}\) (nhận).
Vậy \(n = {{ - 1} \over 4}\).