Bài 6 trang 70 Hình học 10 Nâng cao: Trong mặt phẳng tọa độ, cho...

Trong mặt phẳng tọa độ, cho $\overrightarrow e  = (4\,;\,1)$ và $\overrightarrow f  = (1\,;\,4)$.

a) Tìm góc giữa các vec tơ $\overrightarrow e$ và $\overrightarrow f$.

b) Tìm m để vec tơ $\overrightarrow a  = \overrightarrow e  + m\overrightarrow f$ vuông góc với trục hoành.

c) Tìm n để vec tơ $\overrightarrow b  = n\overrightarrow e  + \overrightarrow f$ tạo với vec tơ $\overrightarrow i  + \overrightarrow j$ một góc ${45^0}$.

a) Góc giữa các vectơ $\overrightarrow e$ và $\overrightarrow f$

$\eqalign{ & \cos (\overrightarrow {e\,} \,\,\overrightarrow f ) = {{\overrightarrow {e\,} .\,\overrightarrow f } \over {|\overrightarrow {e\,} |.\,|\overrightarrow {f|} }} = {{4.1 + 1.4} \over {\sqrt {{4^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = {8 \over {17}} \cr & \Rightarrow \,\,\,(\overrightarrow {e\,} \,\,\overrightarrow f ) \approx {61^0}{56′} \cr}$

b) Ta có $\overrightarrow a  = \overrightarrow {e\,}  + m\overrightarrow {f\,}  = (4 + m\,;\,1 + 4m)$.

$\overrightarrow a  = \overrightarrow e  + m\overrightarrow f$ vuông góc với trục hoành $\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow i  = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,4 + m = 0\,\, \Leftrightarrow m =  - 4$ .

c) Ta có

$\eqalign{ & \,\,\overrightarrow b = n\overrightarrow e + \overrightarrow f = (4n + 1\,;\,n + 4)\,;\,\,\overrightarrow i + \overrightarrow j = (1\,;\,1) \cr & \,\,(\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = {45^0}\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\cos {45^0} = {{\overrightarrow b \,\,(\,\overrightarrow i + \overrightarrow j )} \over {|\overrightarrow b \,|.\,|\,\overrightarrow i + \overrightarrow j |}} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,{{\sqrt 2 } \over 2} = {{(4n + 1) + (n + 4)} \over {\sqrt {{{(4n + 1)}^2} + {{(n + 4)}^2}} .\,\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,{(4n + 1)^2} + {(n + 4)^2} = {(5n + 5)^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,8{n^2} + 34n + 8 = 0\,\, \Rightarrow \,\,n = {{ - 1} \over 4}\,;\,\,n = - 4. \cr}$

Thử lại với $n =  - 4$ ta có $\overrightarrow b  = ( - 15\,;\,0)$.

                              $\cos (\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i  + \overrightarrow j ) = {{ - 15} \over {15.\sqrt 2 }} =  - {1 \over {\sqrt 2 }}$ (loại)

Với $n = {{ - 1} \over 4}\,\,;\,\,\overrightarrow b  = \left( {0\,;\,{{15} \over 4}} \right)$

                               $\cos (\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i  + \overrightarrow j ) = {1 \over {\sqrt 2 }}$ (nhận).

Vậy $n = {{ - 1} \over 4}$.