Cho đường thẳng \(\Delta :2x - y - m = 0\) và elip \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1.\)
a) Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại hai điểm phân biệt?
b) Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại một điểm duy nhất?
Giải
Tọa độ giao điểm của Δ và (E) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \matrix{
2x - y - m = 0 \hfill \cr
{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \hfill \cr} \right.\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 2x - m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
{{{x^2}} \over 5} + {{{{(2x - m)}^2}} \over 4} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có (2) \( \Leftrightarrow \,\,4{x^2} + 5(4{x^2} - 4mx + {m^2}) = 20\)
\( \Leftrightarrow \,\,24{x^2} - 20mx + 5{m^2} - 20 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\)
a) Δ cắt (E) tại hai điểm phân biệt
⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \,\Delta ‘ = 100{m^2} - 24(5{m^2} - 20) > 0 \cr
& \Leftrightarrow \,\, - 20{m^2} + 480 > 0 \cr
& \Leftrightarrow \,\,|m| < 2\sqrt 6 \cr
& \Leftrightarrow \,\, - 2\sqrt 6 < m < 2\sqrt 6 \cr} \)
b) Δ cắt (E) tại một điểm duy nhất \( \Leftrightarrow \,\,m = \pm 2\sqrt 6 \)