Bài 11 trang 119 Hình học 10 Nâng cao: Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại hai điểm phân biệt?...

Cho đường thẳng $\Delta :2x - y - m = 0$ và elip $(E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1.$

a) Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại hai điểm phân biệt?

b) Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại một điểm duy nhất?

Giải

Tọa độ giao điểm của Δ và (E) là nghiệm của hệ

$\left\{ \matrix{ 2x - y - m = 0 \hfill \cr {{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \hfill \cr} \right.\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 2x - m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr {{{x^2}} \over 5} + {{{{(2x - m)}^2}} \over 4} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.$ 

Ta có (2) $\Leftrightarrow \,\,4{x^2} + 5(4{x^2} - 4mx + {m^2}) = 20$

$\Leftrightarrow \,\,24{x^2} - 20mx + 5{m^2} - 20 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$            

a) Δ  cắt (E) tại hai điểm phân biệt

 ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \,\Delta ‘ = 100{m^2} - 24(5{m^2} - 20) > 0 \cr & \Leftrightarrow \,\, - 20{m^2} + 480 > 0 \cr & \Leftrightarrow \,\,|m| < 2\sqrt 6 \cr & \Leftrightarrow \,\, - 2\sqrt 6 < m < 2\sqrt 6 \cr}$                  

b) Δ cắt (E) tại một điểm duy nhất  $\Leftrightarrow \,\,m =  \pm 2\sqrt 6$