Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao Bài 12 trang 119 SGK Hình học 10 Nâng cao, Viết phương...

Bài 12 trang 119 SGK Hình học 10 Nâng cao, Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm...

Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của elip (E). Bài 12 trang 119 SGK Hình học 10 Nâng cao – Ôn tập chương III – Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Cho elip \((E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1.\)

a) Xác định tọa độ hai tiêu điểm  và các đỉnh của (E).

b) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của elip (E).

c) Vẽ phác elip (E) và hypebol (H) nói ở câu b) trong cùng một hệ trục tọa độ.

d) Viết phương trình của đường tròn đi qua các giao điểm của hai đường cônic nói trên.

Giải

a) Ta có: \(a = 5\,\,\,\,b = 3\,\,\,c = \sqrt {{a^2} – {b^2}}  = 4\)

Tọa độ các tiêu điểm của (E) là \({F_1}\,( – 4\,;\,0)\,\,\,{F_2}\,(4\,;\,0)\) .

Quảng cáo

Tọa độ các đỉnh của (E) là \({A_1}( – 5\,;\,0)\,\,\,{A_2}(5\,;\,0)\,\,\,{B_1}(0\,;\, – 3)\,\,\,{B_2}(0\,;\,3)\) .

b) (H) nhận (-4, 0) và (4, 0) làm đỉnh thì \(a=4\).

 (H) nhận (-5, 0) và (5, 0) làm tiêu điểm  thì  có \(c=5\).

\( \Rightarrow \,\,{b^2} = {c^2} – {a^2} = 25 – 16 = 9\,\,\, \Rightarrow \,\,\,b = 3\)

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là : \({{{x^2}} \over {16}} – {{{y^2}} \over 9} = 1\)

c) Vẽ (E) và (H).

 

d) Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1 \hfill \cr
{{{x^2}} \over {16}} – {{{y^2}} \over 9} = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
{x^2} = {{800} \over {41}} \hfill \cr
{y^2} = {{81} \over {41}} \hfill \cr} \right.\) 

Vậy (E) và (H) cắt nhau tại 4 điểm có tọa độ thỏa phương trình \({x^2} + {y^2} = {{881} \over {41}}\)

Vậy đường tròn đi qua các giao điểm  của (E) và (H) có phương trình là \({x^2} + {y^2} = {{881} \over {41}}\)

Quảng cáo