Cho elip \((E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1.\)
a) Xác định tọa độ hai tiêu điểm và các đỉnh của (E).
b) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của elip (E).
c) Vẽ phác elip (E) và hypebol (H) nói ở câu b) trong cùng một hệ trục tọa độ.
d) Viết phương trình của đường tròn đi qua các giao điểm của hai đường cônic nói trên.
Giải
a) Ta có: \(a = 5\,\,\,\,b = 3\,\,\,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4\)
Tọa độ các tiêu điểm của (E) là \({F_1}\,( - 4\,;\,0)\,\,\,{F_2}\,(4\,;\,0)\) .
Tọa độ các đỉnh của (E) là \({A_1}( - 5\,;\,0)\,\,\,{A_2}(5\,;\,0)\,\,\,{B_1}(0\,;\, - 3)\,\,\,{B_2}(0\,;\,3)\) .
b) (H) nhận (-4, 0) và (4, 0) làm đỉnh thì \(a=4\).
Advertisements (Quảng cáo)
(H) nhận (-5, 0) và (5, 0) làm tiêu điểm thì có \(c=5\).
\( \Rightarrow \,\,{b^2} = {c^2} - {a^2} = 25 - 16 = 9\,\,\, \Rightarrow \,\,\,b = 3\)
Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là : \({{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 9} = 1\)
c) Vẽ (E) và (H).
d) Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1 \hfill \cr
{{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 9} = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
{x^2} = {{800} \over {41}} \hfill \cr
{y^2} = {{81} \over {41}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy (E) và (H) cắt nhau tại 4 điểm có tọa độ thỏa phương trình \({x^2} + {y^2} = {{881} \over {41}}\)
Vậy đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H) có phương trình là \({x^2} + {y^2} = {{881} \over {41}}\)