Bài 13 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao, Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất....

Cho parabol $(P):{y^2} = 2px.$ Với mỗi điểm M trên (P) (M khác O), gọi M’ là hình chiếu của M trên  Oy  và  I  là trung điểm của đoạn OM’. Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất.

Giả sử $M({x_o}\,;\,{y_o})\,\, \in \,\,\,(P)$  ta có $y_o^2 = 2p{x_o}\,({x_o} \ne 0)$ . M’ là hình chiếu của M trên Oy nên $M'(0\,;\,{y_o})$ , khi đó $I\left( {0\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {IM}  = \left( {{x_o}\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng IM.

Phương trình tham số của IM là 

$\left\{ \matrix{ x = {x_o}.t \hfill \cr y = {{{y_o}} \over 2} + {{{y_o}} \over 2}.t \hfill \cr} \right.$

Thay x, y trong phương trình tham số của IM vào phương trình của (P) ta được

${{y_o^2} \over 4}(1 + {t^2}) = 2p{x_o}t$

mà $2p{x_o} = y_o^2$ nên $y_o^2(1 + {t^2}) = 4y_o^2t\,\,\, \Leftrightarrow \,\,(1 + {t^2}) = 4t\,\,$ ( do ${y_o} \ne 0$) 

$\eqalign{ & \,\, \Leftrightarrow \,\,{(t - 1)^2} = 0\,\,\, \cr & \,\, \Leftrightarrow \,t = 1 \cr}$                                                       

Vậy IM cắt (P) tại điểm duy nhất $M({x_o}\,;\,{y_o})\,$ .